Séries de moyennes et de sommes

Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels. Étudier la nature des séries de terme général $u_n$ :

$u_{n}=\frac{1}{n^{\beta}} \sum_{p=1}^{n} p^{\alpha}$ où $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ .
$u_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{k}{n^{2}} f\left(\frac{k}{n^{2}}\right)$ où $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $[0,1]$ .
$u_{n}=\frac{a_{n}}{\left(\sum_{k=0}^{n} a_{k}\right)^{\alpha}}$ avec $a_n > 0$ et $\alpha > 0$ . On notera $S_n = \sum_{k=0}^n a_k$ .
$u_{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n} i a_{i}}{\sum_{i=1}^{n} i}$ en supposant que la série $\sum a_i$ converge.

1.

Pour la question 1, utiliser un équivalent de la somme par comparaison intégrale.

2.

Pour la question 2, reconnaître une somme de Riemann pour $n$ très grand, mais attention les bornes dépendent de $n$ .

3.

Pour la question 3, comparer $u_n$ à l'intégrale $\int_{S_{n-1}}^{S_n} \frac{dx}{x^\alpha}$ .

4.

Pour la question 4, utiliser la transformation d'Abel ou le théorème de sommation des relations de comparaison.

Idées clés

•

Équivalents de sommes de puissances : $\sum_{k=1}^n k^\alpha \sim \frac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ pour $\alpha > -1$ .

•

Étude de la convergence par comparaison à des intégrales de fonctions puissances.

Résolution.

Si $\alpha > -1$ : $\sum_{p=1}^n p^\alpha \sim \frac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ , donc $u_n \sim \frac{1}{\alpha+1} n^{\alpha+1-\beta}$ . Convergence ssi $\beta - \alpha - 1 > 1 \iff \beta > \alpha + 2$ . Si $\alpha = -1$ : Sum $\sim \ln n$ , $u_n \sim \frac{\ln n}{n^\beta}$ . Convergence ssi $\beta > 1$ . Si $\alpha < -1$ : La somme converge vers $\zeta(-\alpha)$ , donc $u_n \sim \frac{\zeta(-\alpha)}{n^\beta}$ . Convergence ssi $\beta > 1$ . $\boxed{\text{Si } \alpha > -1, \beta > \alpha+2. \text{ Si } \alpha \leq -1, \beta > 1}$
Posons $g(x) = x f(x)$ . Alors $u_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{n^2} g(k/n^2)$ . Pour $n$ grand, $k/n^2$ est très petit. Comme $f$ est $\mathcal{C}^2$ , $g(x) = x f(0) + O(x^2)$ . $u_n = \frac{f(0)}{n^2} \sum_{k=0}^n \frac{k}{n^2} + O(\dots) = \frac{f(0)}{n^4} \frac{n(n+1)}{2} + \dots \sim \frac{f(0)}{2n^2}$ . Si $f(0) \neq 0$ , la série converge car $u_n = O(1/n^2)$ . Si $f(0)=0$ , on pousse le DL. $\boxed{\text{La série converge}}$
On compare $u_n = \frac{S_n - S_{n-1}}{S_n^\alpha}$ à l'intégrale $\int_{S_{n-1}}^{S_n} \frac{dt}{t^\alpha}$ . Si $\sum a_n$ converge, alors $S_n \to S$ , donc $u_n \sim a_n / S^\alpha$ , la série converge. Si $\sum a_n$ diverge, $S_n \to +\infty$ . - Si $\alpha > 1$ , $\sum u_n$ converge (comparaison intégrale convergente). - Si $\alpha \leq 1$ , $\sum u_n$ diverge (comparaison intégrale divergente). $\boxed{\text{Si } \sum a_n \text{ diverge, convergence ssi } \alpha > 1}$
On a $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ . Notons $R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} a_k$ le reste (car la série converge). Par transformation d'Abel sur le numérateur $N_n = \sum_{i=1}^n i a_i$ : $N_n = n A_n - \sum_{k=1}^{n-1} A_k$ où $A_n$ est la somme partielle. C'est plus simple avec les restes : $\sum_{i=1}^n i a_i = \sum_{i=1}^n i (R_{i-1} - R_i) = \dots$ En fait, si $\sum a_i$ converge, alors par le lemme de Kronecker ou Césaro, $u_n$ tend vers 0. Un calcul plus fin montre que $\sum u_n$ diverge en général (ex: $a_n = (-1)^n/n$ ). Cependant, si $a_n \geq 0$ , $u_n \sim \frac{2}{n^2} \sum i a_i$ . Si $\sum a_i$ converge, alors $i a_i = o(i)$ n'aide pas. Si $\sum a_i$ converge absolument, alors $u_n = O(1/n)$ (car $\sum i a_i$ peut être en $n$ ). $\boxed{\text{La série diverge en général}}$

Les sommes de Riemann dont le nombre de termes n'est pas proportionnel au pas.

Théorème de Abel-Dini sur la divergence de a_n/S_n.