Convergence d'une série harmonique lacunaire

Soit $m$ un entier naturel tel que $m \geqslant 2$ .

On considère la suite réelle $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :

$u_n = \dfrac{1}{n}$ si $n$ n'est pas un multiple de $m$ .
$u_n = \dfrac{x}{n}$ si $n$ est un multiple de $m$ , où $x$ est un paramètre réel.

Montrer qu'il existe une unique valeur de $x \in \mathbb{R}$ telle que la série $\sum u_n$ soit convergente.
Pour cette valeur de $x$ , déterminer la somme de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ .

1.

Exprimer les sommes partielles de rang $Nm$ à l'aide de la série harmonique classique $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ .

2.

Utiliser le développement asymptotique de $H_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ pour identifier la condition de convergence.

3.

Vérifier que si la suite des sommes partielles $(S_{Nm})_{N \in \mathbb{N}}$ converge, alors la suite $(S_k)_{k \in \mathbb{N}}$ converge également en exploitant la limite de $u_n$ .

Idées clés

•

Comparaison avec la série harmonique et utilisation de $H_n = \ln n + \gamma + o(1)$ .

•

Relation entre la convergence d'une sous-suite de sommes partielles et la convergence de la série.

Résolution.

Notons $S_N = \sum_{n=1}^N u_n$ la somme partielle de rang $N$ . Considérons la sous-suite des sommes partielles de rang multiple de $m$ , soit $S_{Nm}$ pour $N \in \mathbb{N}^*$ . En séparant les indices multiples de $m$ des autres, nous obtenons : $S_{Nm} = \sum_{\substack{1 \leqslant k \leqslant Nm m \nmid k}} \frac{1}{k} + \sum_{j=1}^{N} \frac{x}{mj}$
On peut exprimer la première somme comme la somme harmonique complète de laquelle on soustrait les termes dont l'indice est un multiple de $m$ :
$\sum_{\substack{1 \leqslant k \leqslant Nm m \nmid k}} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{Nm} \frac{1}{k} - \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{mj}$
En réinjectant cette expression dans $S_{Nm}$ , on trouve :
$S_{Nm} = H_{Nm} - \frac{1}{m} H_N + \frac{x}{m} H_N$
Soit, après factorisation :
$\boxed{S_{Nm} = H_{Nm} + \frac{x-1}{m} H_N}$
Utilisons maintenant le développement asymptotique $H_n = \ln n + \gamma + o(1)$ :
$S_{Nm} = \ln(Nm) + \gamma + \frac{x-1}{m} \left( \ln N + \gamma \right) + o(1)$
En utilisant la propriété du logarithme $\ln(Nm) = \ln N + \ln m$ , nous isolons le terme prépondérant :
$S_{Nm} = \left( 1 + \frac{x-1}{m} \right) \ln N + \ln m + \gamma \left( 1 + \frac{x-1}{m} \right) + o(1)$
La suite $(S_{Nm})$ converge si et seulement si le coefficient du terme en $\ln N$ est nul. Cela impose la condition :
$1 + \frac{x-1}{m} = 0 \iff x-1 = -m$
On en déduit l'unique valeur possible pour $x$ :
$\boxed{x = 1 - m}$
Pour cette valeur, on remarque que $u_n = O(1/n)$ , donc $u_n \to 0$ . La convergence de la sous-suite $(S_{Nm})$ vers une limite $L$ entraîne alors la convergence de la suite $(S_k)$ vers $L$ . En effet, pour tout $k \in \mathbb{N}$ , il existe $N$ tel que $Nm \leqslant k < (N+1)m$ , et $|S_k - S_{Nm}| \leqslant \sum_{i=Nm+1}^{(N+1)m} |u_i| \to 0$ .
Supposons $x = 1-m$ . Reprenons le développement asymptotique de $S_{Nm}$ établi précédemment : $S_{Nm} = \left( 1 + \frac{1-m-1}{m} \right) \ln N + \ln m + \gamma \left( 1 + \frac{1-m-1}{m} \right) + o(1)$
Le terme en $\ln N$ s'annule, tout comme le terme en $\gamma$ car $1 + \frac{-m}{m} = 0$ . Il reste alors :
$S_{Nm} = \ln m + o(1)$
Par passage à la limite quand $N \to +\infty$ , nous obtenons la somme de la série :
$\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} u_n = \ln m}$

Oublier de vérifier que u_n tend vers 0 pour assurer la convergence de la série à partir d'une sous-suite.

Technique de découpage des sommes partielles selon la congruence de l'indice.