Convergence d'une série de fonctions exponentielles

Résolution.

Soit $x \in \mathbb{R}$. Étudions la nature de la série $\sum u_n(x)$ selon les valeurs du paramètre.

1. Premier cas : $x < 0$. Analysons la limite du terme général $u_n(x)$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Comme $x$ est strictement négatif, on a $-nx \to +\infty$ quand $n \to +\infty$. Par croissance comparée, l'exponentielle l'emporte sur le logarithme :
   $$\lim_{n \to +\infty} \frac{e^{-nx}}{\ln(n)} = +\infty$$
   Puisque $x < 0$, on en déduit que :
   $$\lim_{n \to +\infty} u_n(x) = -\infty$$
   La série diverge donc grossièrement dans ce cas.

2. Deuxième cas : $x = 0$. Si $x=0$, alors pour tout $n \ge 2$, $u_n(0) = 0$. La série est identiquement nulle.
   $$\boxed{\text{La série converge pour } x = 0}$$

3. Troisième cas : $x > 0$. Ici, $u_n(x) > 0$ pour tout $n \ge 2$. Appliquons la règle de d'Alembert. Considérons le rapport de deux termes consécutifs :
   $$\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} = \frac{x e^{-(n+1)x}}{\ln(n+1)} \cdot \frac{\ln(n)}{x e^{-nx}}$$
   Après simplification, on obtient :
   $$\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} = e^{-x} \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)}$$
   On sait que $\ln(n+1) = \ln(n) + \ln(1 + 1/n) = \ln(n) + o(1)$. Le rapport des logarithmes tend donc vers 1. Par conséquent :
   $$\lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} = e^{-x}$$
   Puisque $x > 0$, on a $0 < e^{-x} < 1$. D'après le critère de d'Alembert, la série converge absolument.

Conclusion.

En rassemblant les différents cas étudiés, la série converge si et seulement si $x$ appartient à l'intervalle $[0, +\infty[$.