Convergence d'une suite de fonctions à croissance polynomiale

Pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}^{*}$ , on définit la fonction $f_{n}$ sur $\mathbb{R}$ par la relation suivante :

f_{n}(x) = x^{2} \exp \left( -\frac{\sin(x)}{n} \right)

Déterminer la limite simple de la suite de fonctions $(f_{n})_{n \geq 1}$ sur $\mathbb{R}$ .
La convergence est-elle uniforme sur $\mathbb{R}$ ?
Étudier la convergence uniforme de la suite $(f_{n})$ sur tout segment de $\mathbb{R}$ .

1.

Pour la limite simple, utiliser la continuité de la fonction exponentielle en 0.

2.

Pour la convergence uniforme sur $\mathbb{R}$ , examiner le comportement de la différence $|f_n(x) - f(x)|$ pour des valeurs de $x$ bien choisies, par exemple $x_n = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ .

3.

Pour les segments, utiliser l'inégalité des accroissements finis ou un développement limité pour majorer $|e^u - 1|$ sur un intervalle borné.

Idées clés

•

Convergence simple par passage à la limite dans l'exponentielle.

•

Utilisation de points tests pour infirmer la convergence uniforme.

•

Majoration uniforme sur les compacts via le caractère borné du segment.

1. Étude de la convergence simple.

Soit $x$ un réel fixé. Lorsque $n$ tend vers l'infini, la quantité $\frac{\sin(x)}{n}$ tend vers $0$ . Par continuité de la fonction exponentielle en $0$ , on en déduit que :

\lim_{n \to +\infty} \exp \left( -\frac{\sin(x)}{n} \right) = e^0 = 1

Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on a le résultat suivant :

\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = x^2

La suite de fonctions $(f_n)$ converge donc simplement sur $\mathbb{R}$ vers la fonction $f$ définie par :

\boxed{ f: x \mapsto x^{2} }

2. Étude de la convergence uniforme sur $\mathbb{R$ $R$ .}

Considérons l'écart entre $f_n$ et sa limite $f$ sur $\mathbb{R}$ . On a, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

|f_n(x) - f(x)| = x^2 \left| \exp \left( -\frac{\sin(x)}{n} \right) - 1 \right|

Évaluons cet écart en une suite de points judicieusement choisie. Posons $x_n = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ pour $n \in \mathbb{N}^*$ . On a $\sin(x_n) = 1$ et $x_n \to +\infty$ . En injectant dans l'expression précédente :

|f_n(x_n) - f(x_n)| = \left( 2n\pi + \frac{\pi}{2} \right)^2 \left| e^{-1/n} - 1 \right|

Effectuons un développement asymptotique pour $n$ au voisinage de $+\infty$ :

|e^{-1/n} - 1| \sim \frac{1}{n}   \text{et}   \left( 2n\pi + \frac{\pi}{2} \right)^2 \sim 4\pi^2 n^2

On obtient ainsi l'équivalent suivant :

|f_n(x_n) - f(x_n)| \sim 4\pi^2 n^2 \cdot \frac{1}{n} = 4\pi^2 n

Puisque $\lim_{n \to +\infty} 4\pi^2 n = +\infty$ , on en déduit que la suite de normes infinies ne tend pas vers 0 :

\boxed{ \sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x) - f(x)| \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty }

La convergence n'est donc pas uniforme sur $\mathbb{R}$ .

3. Étude de la convergence uniforme sur tout segment.

Soit $a > 0$ et considérons l'intervalle $I = [-a, a]$ . Pour tout $x \in I$ , on a $|\sin(x)| \leq 1$ , donc :

\left| -\frac{\sin(x)}{n} \right| \leq \frac{1}{n}

Utilisons l'inégalité des accroissements finis pour la fonction $t \mapsto e^t$ entre $0$ et $u = -\frac{\sin(x)}{n}$ . Pour $n \geq 1$ , on a $u \in [-1, 1]$ . Comme la dérivée de l'exponentielle est majorée par $e$ sur cet intervalle :

|e^u - e^0| \leq |u| \cdot \sup_{t \in [-1, 1]} e^t \leq \frac{|\sin(x)|}{n} e

Il en résulte la majoration suivante pour tout $x \in [-a, a]$ :

|f_n(x) - f(x)| = x^2 |e^{-\sin(x)/n} - 1| \leq a^2 \frac{1}{n} e

On en déduit alors la majoration de la norme uniforme sur le segment $[-a, a]$ :

\boxed{ \|f_n - f\|_{\infty, [-a, a]} \leq \frac{e a^2}{n} }

Comme cette borne supérieure tend vers $0$ quand $n \to +\infty$ , on conclut : La suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment de $\mathbb{R}$ .

Confondre convergence uniforme sur tout segment et convergence uniforme sur R.

Utiliser des points tests x_n pour infirmer la convergence uniforme sur un domaine non borné.