Convergence d'une série de fonctions à paramètre

Soit la suite de fonctions $(f_n)_{n \geq 2}$ définies sur $\mathbb{R}_+$ par :

f_n(x) = \frac{\sqrt{x} \ln n}{1 + x n^2}

Étudier la convergence simple de la série de fonctions $\sum f_n$ sur $\mathbb{R}_+$ .
Étudier la convergence normale de cette série sur $[a, +\infty[$ (avec $a > 0$ ), puis sur $[0, +\infty[$ .
La série converge-t-elle uniformément sur $[0, +\infty[$ ?

1.

Pour la convergence simple, utiliser une comparaison avec une série de Bertrand ou une série de Riemann.

2.

Pour la convergence normale, étudier les variations de $f_n$ pour déterminer sa borne supérieure.

3.

Pour la convergence uniforme sur $[0, +\infty[$ , on pourra étudier la limite de la somme $S(x)$ quand $x \to 0^+$ ou évaluer le reste en un point bien choisi dépendant de $n$ .

Idées clés

•

Étude des variations pour la convergence normale (recherche du maximum).

•

Comparaison locale (équivalents) pour la convergence simple.

•

Lien entre continuité/bornitude et convergence uniforme.

1. Convergence simple

Soit $x \in \mathbb{R}_+$ .

Si $x = 0$ , alors pour tout $n \geq 2$ , $f_n(0) = 0$ . La série $\sum f_n(0)$ converge vers $0$ .
Si $x > 0$ , on a l'équivalent suivant quand $n \to +\infty$ : $f_n(x) \sim \frac{\sqrt{x} \ln n}{x n^2} = \frac{\ln n}{\sqrt{x} n^2}$

Par comparaison avec les séries de Bertrand $\sum \frac{\ln n}{n^\alpha}$ , ou en remarquant que $\frac{\ln n}{n^2} = o\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$ , on en déduit que la série converge pour tout $x > 0$ .

\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ converge simplement sur } [0, +\infty[.}

2. Convergence normale

Pour $n \geq 2$ , $f_n$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ . Un calcul direct donne :

f_n'(x) = \ln n \cdot \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(1+xn^2) - \sqrt{x}n^2}{(1+xn^2)^2} = \ln n \cdot \frac{1 - xn^2}{2\sqrt{x}(1+xn^2)^2}

Le signe de $f_n'(x)$ est celui de $1 - xn^2$ . La fonction $f_n$ atteint donc son maximum en $x_n = \frac{1}{n^2}$ . La valeur de ce maximum est :

\|f_n\|_{\infty, [0, +\infty[} = f_n\left(\frac{1}{n^2}\right) = \frac{\frac{1}{n} \ln n}{1 + 1} = \frac{\ln n}{2n}

Or, par comparaison avec la série harmonique, la série $\sum \frac{\ln n}{2n}$ diverge.

\boxed{\text{Il n'y a pas convergence normale sur } [0, +\infty[.}

Pour $a > 0$ , dès que $n$ est assez grand tel que $\frac{1}{n^2} < a$ , $f_n$ est décroissante sur $[a, +\infty[$ . Ainsi, $\|f_n\|_{\infty, [a, +\infty[} = f_n(a)$ . D'après l'étude de la convergence simple, $\sum f_n(a)$ converge.

\boxed{\text{Il y a convergence normale sur tout intervalle } [a, +\infty[ \text{ avec } a > 0.}

3. Convergence uniforme sur $[0, +\infty[$

Notons $S(x) = \sum_{n=2}^\infty f_n(x)$ la fonction somme. Si la série convergeait uniformément sur $[0, +\infty[$ , le reste d'ordre $N$ :

R_N(x) = \sum_{n=N+1}^\infty \frac{\sqrt{x} \ln n}{1 + x n^2}

devrait tendre vers

0

uniformément sur

[0, +\infty[

. Étudions

R_N(x)

en

x_N = \frac{1}{N^2}

:

R_N\left(\frac{1}{N^2}\right) = \sum_{n=N+1}^\infty \frac{\frac{1}{N} \ln n}{1 + \frac{n^2}{N^2}}

En minorant par les termes allant de $N+1$ à $2N$ :

R_N\left(\frac{1}{N^2}\right) \geq \sum_{n=N+1}^{2N} \frac{\frac{1}{N} \ln N}{1 + \frac{(2N)^2}{N^2}} = \sum_{n=N+1}^{2N} \frac{\ln N}{5N} = N \cdot \frac{\ln N}{5N} = \frac{\ln N}{5}

Puisque $\frac{\ln N}{5} \xrightarrow{N \to +\infty} +\infty$ , le reste ne tend pas uniformément vers $0$ .

\boxed{\text{La série ne converge pas uniformément sur } [0, +\infty[.}

Ne pas confondre convergence normale et convergence uniforme ; l'absence de l'une n'implique pas l'absence de l'autre de manière immédiate sans étude du reste.

La méthode du choix d'une suite de points $x_N$ pour minorer le reste $R_N(x_N)$ est un outil puissant pour infirmer la convergence uniforme.