Comportement d'une série de fonctions rationnelles

Résolution.

1. Convergence simple et normale. Soit $u_n(x) = \frac{x}{1+n^2 x^2}$ pour $n \in \mathbb{N}^*$. Si $x = 0$, $u_n(0) = 0$, donc la série converge. Si $x \neq 0$, $u_n(x) \sim \frac{1}{n^2 x}$ quand $n \to +\infty$. La série $\sum \frac{1}{n^2}$ étant une série de Riemann convergente, la série $\sum u_n(x)$ converge absolument pour tout $x \in \mathbb{R}$.
   $$\boxed{ \text{La série converge simplement sur } \mathbb{R}. }$$
   Étudions la convergence normale sur $\mathbb{R}$. La fonction $u_n$ est dérivable et :
   $$u_n'(x) = \frac{(1+n^2 x^2) - x(2n^2 x)}{(1+n^2 x^2)^2} = \frac{1 - n^2 x^2}{(1+n^2 x^2)^2}$$
   Le maximum de $|u_n|$ est atteint pour $x = \frac{1}{n}$, et vaut $\|u_n\|_\infty = |u_n(1/n)| = \frac{1/n}{1+1} = \frac{1}{2n}$. Comme la série $\sum \frac{1}{2n}$ diverge, il n'y a pas convergence normale sur $\mathbb{R}$ (ni sur tout intervalle contenant $0$ dans son adhérence). Cependant, pour $a > 0$ et $x \in [a, +\infty[$, on a pour $n$ assez grand ($n > 1/a$) :
   $$|u_n(x)| \le \frac{x}{n^2 x^2} = \frac{1}{n^2 x} \le \frac{1}{n^2 a}$$
   La série $\sum \frac{1}{n^2 a}$ converge, donc :
   $$\boxed{ \text{La série converge normalement sur tout intervalle } [a, +\infty[ \text{ avec } a > 0. }$$

2. Limite de $xf(x)$ en $+\infty$. On écrit $x f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^2}{1+n^2 x^2}$. Posons $g_n(x) = \frac{x^2}{1+n^2 x^2}$. Pour $x \ge 1$, on a $g_n(x) = \frac{1}{1/x^2 + n^2} \le \frac{1}{n^2}$. La série de fonctions $\sum g_n$ converge donc normalement (et donc uniformément) sur $[1, +\infty[$. On peut appliquer le théorème de la double limite ou de la limite d'une série de fonctions :
   $$\lim_{x \to +\infty} g_n(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1/x^2 + n^2} = \frac{1}{n^2}$$
   On en déduit :
   $$\lim_{x \to +\infty} x f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$$
   D'après le résultat classique sur la série de Riemann (ou les séries de Fourier) :
   $$\boxed{ \lim_{x \to +\infty} x f(x) = \frac{\pi^2}{6} }$$

3. Limite de $f(x)$ en $0^+$. Fixons $x > 0$. La fonction $t \mapsto \frac{x}{1+t^2 x^2}$ est décroissante sur $[1, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale, on a :
   $$\int_1^{+\infty} \frac{x}{1+t^2 x^2} \mathrm{d}t \le \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{1+n^2 x^2} \le \frac{x}{1+x^2} + \int_1^{+\infty} \frac{x}{1+t^2 x^2} \mathrm{d}t$$
   Calculons l'intégrale par le changement de variable $u = tx$ ($\mathrm{d}u = x \mathrm{d}t$) :
   $$\int_1^{+\infty} \frac{x}{1+t^2 x^2} \mathrm{d}t = \int_x^{+\infty} \frac{1}{1+u^2} \mathrm{d}u = \left[ \arctan(u) \right]_x^{+\infty} = \frac{\pi}{2} - \arctan(x)$$
   Ainsi, l'encadrement devient :
   $$\frac{\pi}{2} - \arctan(x) \le f(x) \le \frac{x}{1+x^2} + \frac{\pi}{2} - \arctan(x)$$
   Par le théorème des gendarmes, comme $\lim_{x \to 0^+} \arctan(x) = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{1+x^2} = 0$, on conclut :
   $$\boxed{ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{\pi}{2} }$$