Comparaison série-intégrale et convergence de fonctions

Soit $f : \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ une fonction continue par morceaux, positive, décroissante et intégrable sur $\mathbb{R}^{+}$ .

On considère la série de fonctions $\sum u_n$ définie pour $x \in \mathbb{R}^{+}$ par :

u_n(x) = x f(nx)

Étudier la convergence simple de la série $\sum u_n$ sur $\mathbb{R}^{+}$ .
Étudier la convergence uniforme de cette série sur les intervalles de la forme $[a, +\infty[$ avec $a > 0$ .
Déterminer la limite de la fonction $S : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^{+}$ .
Déterminer la limite de $S(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ .

1.

Pour la convergence simple, utiliser le caractère décroissant de $f$ pour comparer la somme à une intégrale.

2.

Pour la limite en $0$ , on pourra encadrer la somme par des intégrales de $f$ sur $[0, +\infty[$ .

3.

Pour la limite en $+\infty$ , remarquer que $x f(nx)$ est petit dès que $n \geq 1$ en utilisant l'intégrabilité et la décroissance (propriété de $t f(t)$ en l'infini).

Idées clés

•

Comparaison série-intégrale pour les fonctions monotones.

•

Lien entre intégrabilité et comportement asymptotique ( $t f(t) \to 0$ ).

•

Étude de la convergence uniforme par le reste ou par la continuité.

Résolution.

Convergence simple. Soit $x > 0$ . La fonction $t \mapsto f(tx)$ est décroissante sur $\mathbb{R}^{+}$ car $f$ l'est et $x > 0$ . Pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ , on a l'encadrement classique : $\int_{k}^{k+1} f(tx) dt \leq f(kx) \leq \int_{k-1}^{k} f(tx) dt$
En multipliant par $x$ et en sommant de $k=1$ à $N$ , on obtient par relation de Chasles et changement de variable $u=tx$ :
$\int_{x}^{(N+1)x} f(u) du \leq \sum_{k=1}^{N} x f(kx) \leq \int_{0}^{Nx} f(u) du$
Puisque $f$ est intégrable sur $\mathbb{R}^{+}$ , l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} f(u) du$ converge. Par comparaison de séries à termes positifs, la série converge simplement pour tout $x > 0$ . Pour $x=0$ , $u_n(0) = 0$ pour tout $n$ , donc la série converge et $S(0)=0$ .
$\boxed{ \text{La série converge simplement sur } [0, +\infty[ }$
Convergence uniforme. Soit $a > 0$ . Pour $x \in [a, +\infty[$ , étudions le reste d'ordre $N$ : $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} x f(nx)$ . Par comparaison intégrale (comme en question 1) : $R_N(x) \leq \int_{Nx}^{+\infty} f(u) du$
Comme $x \geq a$ , on a $Nx \geq Na$ . Par positivité de $f$ :
$\sup_{x \in [a, +\infty[} |R_N(x)| \leq \int_{Na}^{+\infty} f(u) du$
Le terme de droite tend vers $0$ quand $N \to +\infty$ car $f$ est intégrable.
$\boxed{ \text{La série converge uniformément sur tout intervalle } [a, +\infty[ \text{ pour } a > 0 }$
Limite en $0^{+$ $0^{+}$ .} Reprenons l'encadrement obtenu en sommant pour $k$ allant de $1$ à $+\infty$ : $\int_{x}^{+\infty} f(u) du \leq \sum_{k=1}^{+\infty} x f(kx) \leq \int_{0}^{+\infty} f(u) du$
On en déduit :
$S(x) = x f(0) + \sum_{k=1}^{+\infty} x f(kx)$
Quand $x \to 0^{+}$ , $x f(0) \to 0$ et $\int_{x}^{+\infty} f(u) du \to \int_{0}^{+\infty} f(u) du$ . Par théorème d'encadrement :
$\boxed{ \lim_{x \to 0^{+}} S(x) = \int_{0}^{+\infty} f(u) du }$
Limite en $+\infty$ . Puisque $f$ est décroissante et intégrable sur $\mathbb{R}^{+}$ , on montre classiquement que $t f(t) \to 0$ quand $t \to +\infty$ . En effet, $\int_{t/2}^{t} f(u) du \geq \frac{t}{2} f(t) \geq 0$ . Par convergence de l'intégrale, le terme de gauche tend vers $0$ . Pour $x > 0$ , on a $S(x) = x f(0) + x f(x) + \sum_{n=2}^{+\infty} x f(nx)$ . D'après l'encadrement de la question 1 : $0 \leq \sum_{n=2}^{+\infty} x f(nx) \leq \int_{x}^{+\infty} f(u) du$ . Ainsi, $0 \leq S(x) \leq x f(0) + x f(x) + \int_{x}^{+\infty} f(u) du$ . Si $f(0) > 0$ , alors $x f(0) \to +\infty$ . Si $f(0) = 0$ , alors $f$ est nulle partout par décroissance et positivité. Supposons $f(0) > 0$ . Alors $S(x) \sim x f(0)$ au voisinage de $+\infty$ . $\boxed{ \lim_{x \to +\infty} S(x) = +\infty (\text{si } f(0) > 0) }$

Confusion entre convergence uniforme locale et globale sur un intervalle non borné.

Une fonction positive, décroissante et intégrable vérifie t*f(t) -> 0 en l'infini.