Convergence d'une série de fonctions par morceaux

Soit $f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ une fonction continue. Pour tout entier naturel $n$ , on définit la fonction $u_n$ sur $\mathbb{R}_+$ par :

u_n = f \cdot \chi_{[n, n+1[}

où

\chi_{[n, n+1[}

désigne la fonction indicatrice de l'intervalle

[n, n+1[

.

On s'intéresse à la série de fonctions $\sum u_n$ .

Justifier la convergence simple de la série $\sum u_n$ sur $\mathbb{R}_+$ et déterminer sa fonction somme $S$ .
Établir une condition nécessaire et suffisante sur $f$ pour que la série $\sum u_n$ converge uniformément sur $\mathbb{R}_+$ .
Établir une condition nécessaire et suffisante sur $f$ pour que la série $\sum u_n$ converge normalement sur $\mathbb{R}_+$ .

1.

Pour la convergence simple, remarquer que pour tout $x \ge 0$ , un seul terme de la somme est non nul.

2.

Pour la convergence uniforme, exprimer le reste d'ordre $N$ de la série en fonction de $f$ .

3.

Pour la convergence normale, utiliser la définition de la norme infinie de $u_n$ sur $\mathbb{R}_+$ .

Idées clés

•

Partition de l'unité (ou ici, du domaine de définition).

•

Étude du reste pour la convergence uniforme.

•

Lien entre croissance de $f$ et sommabilité pour la convergence normale.

Résolution.

Convergence simple. Soit $x \in \mathbb{R}_+$ . Il existe un unique entier naturel $n_0$ tel que $n_0 \le x < n_0 + 1$ , à savoir $n_0 = \lfloor x \rfloor$ . Par définition de $u_n$ , on a : $u_{n_0}(x) = f(x) \text{et} \forall n \neq n_0, \ u_n(x) = 0$ La suite des sommes partielles $(S_N(x))_{N \in \mathbb{N}}$ est donc stationnaire dès que $N \ge \lfloor x \rfloor$ . En effet : $S_N(x) = \sum_{n=0}^N u_n(x) = u_{n_0}(x) = f(x)$ Ainsi, la série $\sum u_n$ converge simplement vers $f$ sur $\mathbb{R}_+$ . $\boxed{ S : x \mapsto f(x) }$
Convergence uniforme. La série converge uniformément sur $\mathbb{R}_+$ $R_{+}$ si et seulement si $\| R_N \|_\infty \to 0$ $∥ R_{N} ∥_{\infty} \to 0$ quand $N \to +\infty$ $N \to + \infty$ , où $R_N$ $R_{N}$ est le reste d'ordre $N$ $N$ . Pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ $x \in R_{+}$ , le reste est :
$R_N(x) = S(x) - S_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n(x)$
D'après l'analyse précédente :
- Si $x < N+1$ , alors pour tout $n \ge N+1$ , $x \notin [n, n+1[$ , donc $R_N(x) = 0$ .
- Si $x \ge N+1$ , alors il existe un unique $n \ge N+1$ tel que $x \in [n, n+1[$ , d'où $R_N(x) = f(x)$ .
On en déduit que :
$\| R_N \|_\infty = \sup_{x \in [N+1, +\infty[} |f(x)|$
La condition $\| R_N \|_\infty \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0$ $∥ R_{N} ∥_{\infty} N \to + \infty 0$ équivaut donc à :
$\boxed{ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 }$
Convergence normale. La série converge normalement sur $\mathbb{R}_+$ si et seulement si la série numérique $\sum \| u_n \|_\infty$ converge. Calculons la norme infinie de chaque terme : $\| u_n \|_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}_+} |u_n(x)| = \sup_{x \in [n, n+1[} |f(x)|$ Comme $f$ est continue, ce supremum coïncide avec le maximum de $f$ sur le segment $[n, n+1]$ . Notons $M_n = \max_{x \in [n, n+1]} f(x)$ . La condition de convergence normale est donc : $\boxed{ \text{La série } \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \sup_{t \in [n, n+1]} f(t) \right) \text{ converge} }$

Confondre convergence de l'intégrale et convergence normale.

Lien entre reste et limite à l'infini pour des supports disjoints.