Optimisation de formes intégrales sur les polynômes

Soit $E = \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})$ l'espace des fonctions réelles continues sur le segment $[0,1]$ . On note $P = \mathbb{R}[X]$ le sous-espace vectoriel des fonctions polynomiales.

Pour une fonction $f \in E$ fixée, on se propose d'étudier les deux quantités suivantes :

Déterminer la valeur de la borne supérieure : $S_1 = \sup \left\{ \int_{0}^{1} f(t)p(t) \mathrm{d}t \mid p \in P, \int_{0}^{1} |p(t)| \mathrm{d}t \leq 1 \right\}$
Déterminer la valeur de la borne supérieure : $S_2 = \sup \left\{ \int_{0}^{1} f(t)p(t) \mathrm{d}t \mid p \in P, \max_{t \in [0,1]} |p(t)| \leq 1 \right\}$

1.

Pour la première question, utiliser l'inégalité de Hölder pour obtenir une majoration par $\|f\|_\infty$ . Pour montrer que c'est la borne supérieure, construire une suite de polynômes "pics" (diracs approchés) au voisinage d'un point où $f$ atteint son maximum.

2.

Pour la seconde question, majorer l'intégrale par $\|f\|_1$ . Pour l'approche de la borne, considérer la fonction signe de $f$ et utiliser le théorème de Stone-Weierstrass après une approximation par une fonction continue.

Idées clés

•

Inégalités de normes : $\| \cdot \|_1$ et $\| \cdot \|_\infty$ sur $\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})$ .

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Densité de $P$ dans $(\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}), \| \cdot \|_\infty)$ par le théorème de Stone-Weierstrass.

•

Densité de $P$ dans $(\mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}), \| \cdot \|_1)$ .

Question 1 : Calcul de $S_1$ .

Soit $p \in P$ tel que $\|p\|_1 = \int_0^1 |p(t)| \mathrm{d}t \leq 1$ . Par l'inégalité de Hölder (ou une majoration directe) :

\left| \int_0^1 f(t)p(t)   \mathrm{d}t \right| \leq \int_0^1 |f(t)| \cdot |p(t)|   \mathrm{d}t \leq \|f\|_\infty \int_0^1 |p(t)|   \mathrm{d}t

Comme $\|p\|_1 \leq 1$ , on en déduit immédiatement :

\int_0^1 f(t)p(t)   \mathrm{d}t \leq \|f\|_\infty

Ainsi, $S_1 \leq \|f\|_\infty$ . Montrons que cette borne est optimale.

Soit $t_0 \in [0,1]$ tel que $|f(t_0)| = \|f\|_\infty$ . Quitte à remplacer $f$ par $-f$ , on suppose $f(t_0) = \|f\|_\infty$ . Soit $\epsilon > 0$ . Par continuité de $f$ , il existe un intervalle $I$ (voisinage de $t_0$ dans $[0,1]$ ) de longueur $\delta > 0$ tel que pour tout $t \in I$ , $f(t) \geq \|f\|_\infty - \epsilon$ .

On peut construire une fonction $g \in E$ continue, positive, de support inclus dans $I$ et telle que $\int_0^1 g(t) \mathrm{d}t = 1$ . Alors :

\int_0^1 f(t)g(t)   \mathrm{d}t = \int_I f(t)g(t)   \mathrm{d}t \geq (\|f\|_\infty - \epsilon) \int_I g(t)   \mathrm{d}t = \|f\|_\infty - \epsilon

\boxed{ S_1 = \|f\|_\infty = \max_{t \in [0,1]} |f(t)| }

Question 2 : Calcul de $S_2$ .

Soit $p \in P$ tel que $\|p\|_\infty = \max_{t \in [0,1]} |p(t)| \leq 1$ . On a :

\left| \int_0^1 f(t)p(t)   \mathrm{d}t \right| \leq \int_0^1 |f(t)| \cdot |p(t)|   \mathrm{d}t \leq \|p\|_\infty \int_0^1 |f(t)|   \mathrm{d}t

D'où $S_2 \leq \|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)| \mathrm{d}t$ .

Pour montrer que $S_2 = \|f\|_1$ , on cherche $p$ proche de $\text{sgn}(f)$ . La fonction $s : t \mapsto \text{sgn}(f(t))$ n'est pas nécessairement continue.

Cependant, pour tout $\epsilon > 0$ , il existe une fonction continue $g \in E$ telle que $\|g\|_\infty \leq 1$ et $\int_0^1 |g(t) - \text{sgn}(f(t))| \cdot |f(t)| \mathrm{d}t \leq \epsilon$ . (Ceci provient de la densité des fonctions continues dans $L^1$ , ou d'une construction explicite en "raccordant" les signes sur des petits intervalles autour des zéros de $f$ ).

Pour une telle fonction $g$ , on a :

\int_0^1 f(t)g(t)   \mathrm{d}t = \int_0^1 |f(t)|   \mathrm{d}t - \int_0^1 f(t)(\text{sgn}(f(t)) - g(t))   \mathrm{d}t \geq \|f\|_1 - \epsilon

D'après le théorème de Stone-Weierstrass, il existe $p \in P$ tel que $\|p - g\|_\infty \leq \epsilon$ . Quitte à diviser par $1+\epsilon$ , on peut supposer $\|p\|_\infty \leq 1$ . Alors l'intégrale $\int_0^1 fp$ peut être rendue arbitrairement proche de $\|f\|_1$ .

\boxed{ S_2 = \|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|   \mathrm{d}t }

Vouloir atteindre le maximum dans un espace de dimension infinie sans compacité.

Le lien entre les normes L1 et Linfini à travers les suprema d'intégrales.