Série de fonctions logarithmiques alternée

Soit la suite de fonctions $(u_n)_{n \geq 1}$ définies par :

u_n(x) = (-1)^n \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right)

Déterminer l'ensemble de définition $D$ de la fonction $S$ définie par $S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$ .
La série de fonctions $\sum u_n$ converge-t-elle normalement sur $[0, A]$ pour $A > 0$ ?
Étudier la convergence uniforme de la série $\sum u_n$ sur les segments inclus dans $D$ .
La convergence est-elle uniforme sur $[0, +\infty[$ ?

1.

Pour le domaine de définition, examiner la condition d'existence du logarithme pour tout $n$ , puis utiliser un développement limité du terme général pour la convergence de la série.

2.

Pour la convergence normale, comparer le terme général à une série de Riemann divergente.

3.

Pour la convergence uniforme sur un segment $[0, A]$ , utiliser le critère spécial des séries alternées et majorer le reste.

4.

Pour la convergence sur $[0, +\infty[$ , regarder si le terme général tend vers 0 uniformément sur cet intervalle.

Idées clés

•

Décomposition d'un terme général par développement limité : $u_n = a_n + b_n$ .

•

Critère Spécial des Séries Alternées (CSSA) pour la convergence simple et uniforme.

•

Lien entre convergence uniforme et convergence uniforme du terme général vers zéro.

Résolution.

Détermination du domaine de définition. Pour que $u_n(x)$ $u_{n} (x)$ soit défini pour tout $n \geq 1$ $n \geq 1$ , il faut $1 + \frac{x}{n} > 0$ $1 + \frac{x}{n} > 0$ , soit $x > -n$ $x > - n$ . Cette condition devant être vérifiée pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ $n \in N^{*}$ , on doit avoir $x > -1$ $x > - 1$ . Soit $x \in ]-1, +\infty[$ $x \in] - 1, + \infty [$ . Effectuons un développement limité du terme général au voisinage de $n \to +\infty$ $n \to + \infty$ :
$u_n(x) = (-1)^n \left( \frac{x}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) = \frac{(-1)^n x}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$
- La série $\sum \frac{(-1)^n x}{n}$ converge d'après le critère spécial des séries alternées.
- La série $\sum O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ converge absolument par comparaison avec une série de Riemann.
Par somme de deux séries convergentes, la série $\sum u_n(x)$ $\sum u_{n} (x)$ converge pour tout $x > -1$ $x > - 1$ .
$\boxed{ D = ]-1, +\infty[ }$
Étude de la convergence normale. Soit $A > 0$ . Pour $x \in [0, A]$ , on a $|u_n(x)| = \ln(1 + x/n)$ . Par croissance du logarithme, on a : $\sup_{x \in [0, A]} |u_n(x)| = \ln\left(1 + \frac{A}{n}\right)$ Or, au voisinage de l'infini : $\ln\left(1 + \frac{A}{n}\right) \sim \frac{A}{n}$ La série $\sum \frac{A}{n}$ diverge (série de Riemann). Par comparaison de séries à termes positifs, la série des normes converge diverge. Conclusion : Il n'y a pas convergence normale sur $[0, A]$ .
Convergence uniforme sur les segments. Soit $[a, b] \subset ]-1, +\infty[$ . Cas 1 : $x \in [0, b]$ . Pour $x$ fixé positif, la suite $(|u_n(x)|)_{n \geq 1} = (\ln(1+x/n))_{n \geq 1}$ est positive, décroissante et tend vers 0. D'après le CSSA, le reste $R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x)$ vérifie : $|R_n(x)| \leq |u_{n+1}(x)| = \ln\left(1 + \frac{x}{n+1}\right) \leq \ln\left(1 + \frac{b}{n+1}\right)$ Comme $\ln(1 + \frac{b}{n+1}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ , on en déduit que : $\sup_{x \in [0, b]} |R_n(x)| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ Cas 2 : $x \in [a, 0]$ avec $a \in ]-1, 0[$ . Un raisonnement similaire s'applique. Pour $n$ assez grand ( $n > |a|$ ), la suite $(|u_n(x)|)$ est encore décroissante vers 0. La série $\sum u_n$ converge donc uniformément sur tout segment de $D$ .
Convergence sur $[0, +\infty[$ . Supposons que la série $\sum u_n$ converge uniformément sur $[0, +\infty[$ . Alors la suite de fonctions $(u_n)$ doit converger uniformément vers 0 sur cet intervalle. Calculons la norme infinie de $u_n$ sur $[0, +\infty[$ : $\|u_n\|_\infty = \sup_{x \in [0, +\infty[} \left| (-1)^n \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right) \right| = \sup_{x \in [0, +\infty[} \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right) = +\infty$ Puisque la suite $(u_n)$ n'est même pas bornée, elle ne peut pas converger uniformément vers 0. $\boxed{\text{La série ne converge pas uniformément sur } [0, +\infty[}$

Ne pas confondre convergence normale et convergence uniforme, surtout pour les séries alternées.

Le reste d'une série alternée est majoré par la valeur absolue de son premier terme.