Caractérisation des fonctions par orthogonalité

Soit $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue.

On suppose que pour toute fonction $g \in \mathcal{C}^{1}([0,1], \mathbb{R})$ vérifiant $g(0)=g(1)$ , on a : $\int_{0}^{1} f(t) g(t) dt = 0$ Démontrer que la fonction $f$ est identiquement nulle sur $[0,1]$ .
On suppose désormais que pour toute fonction $g \in \mathcal{C}^{1}([0,1], \mathbb{R})$ vérifiant $g(0)=g(1)$ , on a : $\int_{0}^{1} f(t) g'(t) dt = 0$ Que peut-on conclure sur la fonction $f$ ? Démontrer le résultat.

1.

Pour la première question, raisonner par l'absurde en supposant que $f$ n'est pas nulle en un point $t_0$ , puis construire une fonction "cloche" $g$ de classe $\mathcal{C}^1$ centrée en $t_0$ et s'annulant au bord.

2.

Pour la seconde question, introduire la valeur moyenne $c = \int_0^1 f(t) dt$ et considérer une primitive bien choisie de la fonction $f-c$ .

Idées clés

•

Utilisation de fonctions tests (fonctions "cloches").

•

Lien entre orthogonalité aux dérivées et fonctions constantes.

•

Propriété de positivité de l'intégrale pour les fonctions continues non nulles.

Résolution.

Démontrons que $f$ est nulle par l'absurde. Supposons qu'il existe $t_0 \in [0,1]$ tel que $f(t_0) \neq 0$ . Quitte à remplacer $f$ par $-f$ , on peut supposer $f(t_0) > 0$ . Par continuité de $f$ , il existe un intervalle $[\alpha, \beta] \subset [0,1]$ tel que $t_0 \in ]\alpha, \beta[$ et : $\forall t \in [\alpha, \beta], f(t) \geq \frac{f(t_0)}{2} > 0$ Construisons une fonction $g \in \mathcal{C}^1([0,1])$ positive, s'annulant hors de $]\alpha, \beta[$ , et telle que $g(0)=g(1)$ . On peut poser : $g(t) = \begin{cases} (t-\alpha)^2(t-\beta)^2 & \text{si } t \in [\alpha, \beta] 0 & \text{sinon} \end{cases}$ Cette fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$ car la fonction et sa dérivée s'annulent en $\alpha$ et $\beta$ . De plus, $g(0)=g(1)=0$ . Calculons l'intégrale du produit : $\int_0^1 f(t)g(t) dt = \int_\alpha^\beta f(t)g(t) dt$ Sur $]\alpha, \beta[$ , le produit $fg$ est strictement positif et continu. L'intégrale est donc strictement positive : $\int_0^1 f(t)g(t) dt > 0$ Ceci contredit l'hypothèse d'orthogonalité. On en conclut : $\boxed{ f = 0 }$
Montrons que $f$ est une fonction constante. Notons $c = \int_0^1 f(t) dt$ la valeur moyenne de $f$ sur $[0,1]$ . Considérons une fonction $h \in \mathcal{C}^0([0,1])$ telle que $\int_0^1 h(t) dt = 0$ . On définit alors $g : x \mapsto \int_0^x h(t) dt$ . Par le théorème fondamental de l'analyse, $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$ et $g'=h$ . On remarque que $g(0)=0$ et $g(1) = \int_0^1 h(t) dt = 0$ . Ainsi, $g$ vérifie les conditions de l'énoncé. L'hypothèse nous donne : $\int_0^1 f(t) h(t) dt = 0$ Appliquons ceci à la fonction particulière $h = f - c$ . Elle est continue et sa moyenne est nulle. On a donc : $\int_0^1 f(t) (f(t) - c) dt = 0$ Observons par ailleurs que : $\int_0^1 c (f(t) - c) dt = c \left( \int_0^1 f(t) dt - c \right) = c(c-c) = 0$ En soustrayant ces deux égalités, nous obtenons : $\int_0^1 (f(t)-c)^2 dt = \int_0^1 f(t)(f(t)-c) dt - \int_0^1 c(f(t)-c) dt = 0$ La fonction $(f-c)^2$ est continue et positive sur $[0,1]$ . Comme son intégrale est nulle, la fonction est identiquement nulle. $\boxed{ \forall t \in [0,1], f(t) = c }$ Ainsi, $f$ est une fonction constante.

Vouloir intégrer par parties alors que f n'est pas C1.

Orthogonalité aux dérivées implique la constance.