Convergence d'une série à bosses glissantes

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite de fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

u_n(x) = \frac{1}{n + n^2(x-n)^2}

Étudier la convergence simple, normale et uniforme de la série de fonctions $\sum u_n$ sur $\mathbb{R}$ , puis sur les segments de $\mathbb{R}$ .

1.

Pour la convergence simple, effectuer un développement asymptotique du terme général à $x$ fixé.

2.

Pour la convergence normale sur $\mathbb{R}$ , déterminer la borne supérieure de $|u_n|$ en étudiant les variations de $u_n$ .

3.

Pour la convergence uniforme sur $\mathbb{R}$ , utiliser le reste de la série et majorer $\sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n(x)$ en découpant la somme selon que $n$ est proche de $x$ ou non.

Idées clés

•

Étude du maximum local (bosse) situé en $x=n$ .

•

Distinction entre convergence locale (sur les compacts) et globale (sur $\mathbb{R}$ ).

•

Technique de découpage du reste pour la convergence uniforme.

1. Convergence simple sur $\mathbb{R$ $R$ .}

Soit $x \in \mathbb{R}$ fixé. Lorsque $n \to +\infty$ , on a $(x-n)^2 \sim n^2$ . On en déduit l'équivalent suivant pour le dénominateur :

n + n^2(x-n)^2 \sim n^2 \cdot n^2 = n^4

Ainsi, au voisinage de l'infini :

u_n(x) \sim \frac{1}{n^4}

Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^4}$ converge, par comparaison de séries à termes positifs :

\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ converge simplement sur } \mathbb{R}.}

2. Convergence normale.

Cherchons la borne supérieure de $u_n$ sur $\mathbb{R}$ . La fonction $u_n$ est dérivable et son dénominateur est minimal lorsque $x=n$ . On a immédiatement :

\|u_n\|_{\infty, \mathbb{R}} = u_n(n) = \frac{1}{n}

La série $\sum \frac{1}{n}$ étant la série harmonique divergente :

\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ ne converge pas normalement sur } \mathbb{R}.}

Considérons maintenant un segment $K = [a, b]$ . Pour $n > b$ , la fonction $u_n$ est croissante sur $[a, b]$ . Ainsi, pour $n$ assez grand ( $n > b$ ) :

\sup_{x \in [a, b]} |u_n(x)| = u_n(b) = \frac{1}{n + n^2(b-n)^2} \sim \frac{1}{n^4}

La série des bornes supérieures converge. Par conséquent :

\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ converge normalement sur tout segment de } \mathbb{R}.}

3. Convergence uniforme sur $\mathbb{R$ $R$ .}

Notons $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n(x)$ le reste de rang $N$ . Pour établir la convergence uniforme, nous devons montrer que $\sup_{x \in \mathbb{R}} |R_N(x)| \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0$ .

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Pour chaque $n \ge N+1$ , on distingue deux cas :

Si $|x-n| \ge 1$ , alors $u_n(x) \le \frac{1}{n^2(x-n)^2} \le \frac{1}{n^2}$ .
Si $|x-n| < 1$ , il y a au plus deux entiers $n$ vérifiant cette condition (les entiers entourant $x$ ).

On découpe alors la somme du reste en deux parties :

R_N(x) = \sum_{\substack{n=N+1 |n-x| \ge 1}}^{+\infty} u_n(x) + \sum_{\substack{n=N+1 |n-x| < 1}}^{+\infty} u_n(x)

Pour la première partie, on majore par la queue d'une série de Riemann :

\sum_{\substack{n=N+1 |n-x| \ge 1}}^{+\infty} u_n(x) \le \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}

Pour la seconde partie, il y a au plus deux termes, chacun étant majoré par $\|u_n\|_\infty = \frac{1}{n}$ . Comme $n \ge N+1$ , chaque terme est $\le \frac{1}{N+1}$ :

\sum_{\substack{n=N+1 |n-x| < 1}}^{+\infty} u_n(x) \le \frac{2}{N+1}

On obtient donc la majoration uniforme :

\forall x \in \mathbb{R},   |R_N(x)| \le \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} + \frac{2}{N+1}

Le membre de droite ne dépend pas de $x$ et tend vers $0$ quand $N \to +\infty$ .

\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ converge uniformément sur } \mathbb{R}.}

Confondre non-convergence normale et non-convergence uniforme sur un domaine non compact.

Technique de découpage du reste pour gérer les phénomènes de glissement de bosse.