Transformation de Borel et sommation

Résolution.

1. Puisque la série $\sum u_n$ converge, la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée. Soit $M = \sup_{n \in \mathbb{N}} |u_n|$. Pour tout $t \in \mathbb{R}$, on a :
   $$\left| \frac{u_n}{n!} t^n \right| \leq M \frac{|t|^n}{n!}$$
   La série entière $\sum \frac{u_n}{n!} t^n$ a donc un rayon de convergence infini. Ainsi, $g$ est définie sur $\mathbb{R}$. De plus, la série converge normalement sur tout segment $[-A, A]$, ce qui assure la continuité de $g$ sur $\mathbb{R}$.
   $$\boxed{g \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{C})}$$

2. Soit $x \geq 0$. On souhaite calculer $f(x) = \int_{0}^{x} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u_n}{n!} t^n \right) e^{-t}   dt$. Pour $t \in [0, x]$, considérons la série de fonctions $\sum h_n(t)$ avec $h_n(t) = \frac{u_n}{n!} t^n e^{-t}$. Chaque $h_n$ est continue sur $[0, x]$ et :
   $$\forall t \in [0, x],   |h_n(t)| \leq M \frac{x^n}{n!}$$
   La série $\sum \|h_n\|_{\infty, [0,x]}$ converge (terme général d'une exponentielle), donc la série converge normalement sur $[0, x]$. On peut donc intervertir l'intégrale et la somme :
   $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} u_n \left( \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} t^n e^{-t}   dt \right)$$
   En posant $\phi_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} t^n e^{-t}   dt$, on obtient la forme demandée.
   $$\boxed{\phi_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} t^n e^{-t}   dt}$$

3. 1. Par définition, $\phi_n(x) = \frac{1}{n!} \gamma(n+1, x)$ où $\gamma$ est la fonction gamma incomplète. Lorsque $x \to +\infty$, on reconnaît l'intégrale d'Euler $\Gamma(n+1) = n!$.
      $$\lim_{x \to +\infty} \phi_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{0}^{+\infty} t^n e^{-t}   dt = \frac{n!}{n!} = 1$$
      $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \phi_n(x) = 1}$$

   2. Fixons $x \geq 0$. Pour $n > 2x$, on a $\frac{t}{n} < \frac{1}{2}$ sur $[0, x]$. Une majoration brute donne :
      $$0 \leq \phi_n(x) \leq \frac{x^n}{n!} \int_{0}^{x} e^{-t}   dt = \frac{x^n}{n!} (1 - e^{-x})$$
      Par croissance comparée, $\frac{x^n}{n!} \to 0$ quand $n \to \infty$.
      $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} \phi_n(x) = 0}$$

4. Convergence de la suite $(\phi_n)$ : On a montré que $(\phi_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $\mathbb{R}^+$. Toutefois, $\sup_{x \in \mathbb{R}^+} |\phi_n(x)| = \lim_{x \to +\infty} \phi_n(x) = 1$ d'après la question 3.a. La convergence n'est donc pas uniforme sur $\mathbb{R}^+$.

   Convergence de la série $\sum u_n \phi_n$ : Effectuons une intégration par parties sur $\phi_n(x)$ :

   $$\phi_n(x) = \left[ -\frac{t^n}{n!} e^{-t} \right]_0^x + \int_0^x \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} e^{-t}   dt = -\frac{x^n}{n!} e^{-x} + \phi_{n-1}(x)$$
   Par récurrence immédiate (avec $\phi_0(x) = 1 - e^{-x}$), on trouve :
   $$\phi_n(x) = 1 - e^{-x} \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}$$
   Ceci montre que $\phi_n(x)$ est le reste d'ordre $n$ de la série de Taylor de $e^x$, multiplié par $e^{-x}$. Notons $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ la somme partielle (qui converge vers $S$). Par transformation d'Abel :
   $$\sum_{n=0}^N u_n \phi_n(x) = S_N \phi_N(x) + \sum_{n=0}^{N-1} S_n (\phi_n(x) - \phi_{n+1}(x))$$
   D'après le calcul précédent, $\phi_n(x) - \phi_{n+1}(x) = e^{-x} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$. Quand $N \to \infty$, $S_N \phi_N(x) \to S \cdot 0 = 0$. La série converge simplement vers :
   $$\boxed{f(x) = e^{-x} \sum_{n=0}^{\infty} S_n \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}$$
   La convergence est uniforme sur tout segment $[0, A]$ par les théorèmes classiques sur les séries entières. Sur $\mathbb{R}^+$, elle n'est pas uniforme en général car les $\phi_n$ ne tendent pas uniformément vers 0.