Convergence uniforme et équi-lipschitzianité

Soit $K$ un réel strictement positif. On considère une suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies sur $[0, 1]$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ . On suppose que toutes les fonctions $f_n$ sont $K$ -lipschitziennes, c'est-à-dire :

\forall n \in \mathbb{N}, \forall (x, y) \in [0, 1]^2,   |f_n(x) - f_n(y)| \leq K |x - y|

On suppose de plus que la suite

(f_n)_{n \in \mathbb{N}}

converge simplement vers une fonction

g

sur

[0, 1]

.

Montrer que la fonction limite $g$ est également $K$ -lipschitzienne sur $[0, 1]$ .
Soit $\varepsilon > 0$ $ε > 0$ . On introduit un entier $p \in \mathbb{N}^*$ $p \in N^{*}$ et la subdivision régulière $J_p = \left\{ \frac{k}{p} \mid k \in \llbracket 0, p \rrbracket \right\}$ $J_{p} = {\frac{k}{p} ∣ k \in [[0, p]]}$ .
1. Justifier qu'il existe un rang $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que : $\forall n \geq n_0, \forall x \in J_p, |f_n(x) - g(x)| \leq \varepsilon$
2. Pour $x \in [0, 1]$ , on note $x_k$ l'élément de $J_p$ le plus proche de $x$ tel que $|x - x_k| \leq \frac{1}{2p}$ . Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $x \in [0, 1]$ : $|f_n(x) - g(x)| \leq |f_n(x_k) - g(x_k)| + \frac{K}{p}$
En déduire que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $g$ sur $[0, 1]$ .
Pourquoi l'hypothèse sur le caractère équi-lipschitzien est-elle cruciale ? On pourra considérer la suite $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1]$ .

1.

Pour la question 1, passer à la limite dans l'inégalité de Lipschitz pour $f_n$ .

2.

Pour la question 2(a), utiliser le fait que $J_p$ est un ensemble fini et appliquer la définition de la convergence simple.

3.

Pour la question 2(b), utiliser l'inégalité triangulaire en intercalant $f_n(x_k)$ et $g(x_k)$ .

4.

Pour la convergence uniforme, choisir $p$ suffisamment grand pour que $K/p$ soit petit, puis utiliser le caractère fini de $J_p$ pour contrôler l'autre terme.

Idées clés

•

Passage à la limite dans les inégalités larges.

•

Approximation d'un compact par un ensemble fini (subdivision).

•

Argument de type $\varepsilon/3$ ou contrôle par équicontinuité.

Résolution.

Soient $(x, y) \in [0, 1]^2$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a par hypothèse $|f_n(x) - f_n(y)| \leq K |x - y|$ . Puisque $f_n(x) \to g(x)$ et $f_n(y) \to g(y)$ quand $n \to +\infty$ , par passage à la limite dans l'inégalité (les bornes sont conservées par limite simple), on obtient : $\boxed{|g(x) - g(y)| \leq K |x - y|}$ Ainsi, $g$ est bien $K$ -lipschitzienne.
1. L'ensemble $J_p$ est fini. Pour chaque $x \in J_p$ , la suite $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $g(x)$ . Il existe donc un rang $n_x$ tel que pour $n \geq n_x$ , $|f_n(x) - g(x)| \leq \varepsilon$ . En posant $n_0 = \max_{x \in J_p} \{n_x\}$ , qui est un maximum sur un ensemble fini, on a : $\boxed{\forall n \geq n_0, \forall x \in J_p, |f_n(x) - g(x)| \leq \varepsilon}$
2. Soit $x \in [0, 1]$ . Il existe $x_k \in J_p$ tel que $|x - x_k| \leq \frac{1}{2p}$ (en prenant le point de la subdivision le plus proche). Par inégalité triangulaire : $|f_n(x) - g(x)| \leq |f_n(x) - f_n(x_k)| + |f_n(x_k) - g(x_k)| + |g(x_k) - g(x)|$ Comme $f_n$ et $g$ sont $K$ -lipschitziennes : $|f_n(x) - f_n(x_k)| \leq K |x - x_k| \leq \frac{K}{2p}$ $|g(x_k) - g(x)| \leq K |x_k - x| \leq \frac{K}{2p}$ En sommant ces deux majorations, on obtient : $\boxed{|f_n(x) - g(x)| \leq |f_n(x_k) - g(x_k)| + \frac{K}{p}}$
Soit $\varepsilon > 0$ . Choisissons un entier $p$ assez grand tel que $\frac{K}{p} \leq \frac{\varepsilon}{2}$ . D'après la question 2(a), il existe $n_0$ tel que pour $n \geq n_0$ , pour tout $z \in J_p$ , $|f_n(z) - g(z)| \leq \frac{\varepsilon}{2}$ . Alors, pour tout $x \in [0, 1]$ , en utilisant le point $x_k \in J_p$ associé : $|f_n(x) - g(x)| \leq |f_n(x_k) - g(x_k)| + \frac{K}{p} \leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$ Comme ce majorant ne dépend pas de $x$ , on a $\|f_n - g\|_\infty \leq \varepsilon$ pour tout $n \geq n_0$ . $\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ converge uniformément vers } g \text{ sur } [0, 1].}$
Considérons $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1]$ . Cette suite converge simplement vers la fonction $g$ définie par $g(x)=0$ si $x \in [0, 1[$ et $g(1)=1$ . La limite $g$ n'est pas continue, donc la convergence ne peut pas être uniforme sur $[0, 1]$ . Ici, les fonctions $f_n$ ne sont pas équi-lipschitziennes car $f_n'(1) = n \to +\infty$ . Le rapport de Lipschitz $K_n$ explose avec $n$ .

Oublier de vérifier la régularité de la fonction limite g avant d'entamer la majoration uniforme.

L'équi-lipschitzianité transforme la convergence simple en convergence uniforme sur un domaine compact.