Sommation d'une série de fonctions exponentielles

On considère la fonction $S$ définie par la série de fonctions suivante :

S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1} e^{-nx}}{n}

Déterminer le domaine de définition de la fonction $S$ .
Démontrer que $S$ est continue sur son ensemble de définition.
Établir que $S$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ .
En déduire une expression explicite de $S(x)$ pour tout $x \geq 0$ .

1.

Pour la continuité en $0$ , utiliser le critère spécial des séries alternées pour obtenir une majoration uniforme du reste.

2.

Pour le caractère $\mathcal{C}^1$ , étudier la convergence normale de la série des dérivées sur tout intervalle de la forme $[a, +\infty[$ avec $a > 0$ .

3.

Identifier la dérivée $S'(x)$ comme une série géométrique.

Idées clés

•

Critère spécial des séries alternées (CSSA) pour la convergence uniforme.

•

Convergence normale de la série des dérivées pour la régularité $\mathcal{C}^1$ .

•

Intégration de la somme d'une série géométrique.

1. Domaine de définition.

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Posons $f_n(x) = \frac{(-1)^{n-1} e^{-nx}}{n}$ .

Cas $x < 0$ : La suite $(|f_n(x)|)$ tend vers $+\infty$ , donc la série diverge grossièrement.

Cas $x = 0$ : $S(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ . Il s'agit de la série harmonique alternée qui converge d'après le critère spécial des séries alternées.

Cas $x > 0$ : On a $|f_n(x)| \leq e^{-nx}$ . Comme $e^{-x} \in ]0, 1[$ , la série converge absolument par comparaison avec une série géométrique convergente.

\boxed{ \mathcal{D}_S = [0, +\infty[ }

2. Continuité de $S$ .

Pour tout $x \geq 0$ fixé, la suite $(\frac{e^{-nx}}{n})_{n \geq 1}$ est décroissante et tend vers $0$ .

D'après le critère spécial des séries alternées, le reste d'ordre $n$ , noté $R_n(x)$ , vérifie :

\forall x \in [0, +\infty[,   |R_n(x)| \leq |f_{n+1}(x)| = \frac{e^{-(n+1)x}}{n+1}

On en déduit la majoration uniforme suivante :

\sup_{x \in [0, +\infty[} |R_n(x)| \leq \frac{1}{n+1}

Comme $\frac{1}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ , la série de fonctions $\sum f_n$ converge uniformément sur $[0, +\infty[$ .

Chaque fonction $f_n$ étant continue sur $[0, +\infty[$ , la somme $S$ est continue sur cet intervalle.

\boxed{ S \in \mathcal{C}^0([0, +\infty[, \mathbb{R}) }

3. Caractère $\mathcal{C$ ^1 $C^{1}$ sur $]0, +\infty[$ .}

Les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ et :

f_n'(x) = (-1)^n e^{-nx} = (-e^{-x})^n

Soit $a > 0$ . Pour tout $x \in [a, +\infty[$ , on a $|f_n'(x)| \leq e^{-na}$ .

La série $\sum (e^{-a})^n$ est une série géométrique convergente car $0 < e^{-a} < 1$ .

Ainsi, la série $\sum f_n'$ converge normalement, donc uniformément, sur tout intervalle $[a, +\infty[ \subset ]0, +\infty[$ .

Par théorème de dérivation des séries de fonctions, $S$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ et :

\forall x > 0,   S'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-e^{-x})^n

4. Calcul explicite de $S$ .

Pour $x > 0$ , la dérivée est la somme d'une série géométrique de premier terme $-e^{-x}$ et de raison $-e^{-x}$ :

S'(x) = \frac{-e^{-x}}{1 - (-e^{-x})} = \frac{-e^{-x}}{1 + e^{-x}}

En intégrant cette expression, il existe une constante $C \in \mathbb{R}$ telle que :

S(x) = \ln(1 + e^{-x}) + C

Pour déterminer $C$ , on utilise la limite en $+\infty$ . Par convergence normale de $\sum f_n$ sur $[1, +\infty[$ , on a $\lim_{x \to +\infty} S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} 0 = 0$ .

Or $\lim_{x \to +\infty} \ln(1 + e^{-x}) = \ln(1) = 0$ , donc $C = 0$ .

Par continuité de $S$ en $0$ , on a également $S(0) = \ln(1+e^0) = \ln(2)$ , ce qui est cohérent avec la valeur connue de la série harmonique alternée.

\boxed{ \forall x \geq 0,   S(x) = \ln(1 + e^{-x}) }

Vouloir utiliser la convergence normale sur [0, +inf[ alors qu'elle n'y est pas réalisée.

La majoration du reste des séries alternées pour prouver la convergence uniforme.