Opérateur d'inf-convolution et dynamique fonctionnelle

Soit $E = C([0,1], \mathbb{R})$ l'espace des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs réelles. On considère une fonction $g \in C([-1,1], \mathbb{R}^+)$ telle que $g(x) = 0$ si et seulement si $x = 0$ . Pour toute fonction $\varphi \in E$ , on définit l'application $T_g(\varphi)$ par :

\forall t \in [0,1],   T_g(\varphi)(t) = \inf_{s \in [0,1]} \left( \varphi(s) + g(s-t) \right)

Montrer que pour toute fonction $\varphi \in E$ , $T_g(\varphi)$ appartient également à $E$ .
Soit $\varphi \in E$ $φ \in E$ . On définit la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ $(f_{n})_{n \in N}$ par $f_0 = \varphi$ $f_{0} = φ$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ $n \in N$ , $f_{n+1} = T_g(f_n)$ $f_{n + 1} = T_{g} (f_{n})$ .
1. Démontrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers une fonction $f \in E$ .
2. Déterminer l'expression de $f$ dans le cas particulier où $g(u) = |u|$ pour tout $u \in [-1,1]$ .
3. Étudier la limite $f$ lorsque $g(u) = o(u)$ au voisinage de $0$ .

1.

Pour la question 1, utiliser la continuité uniforme de $g$ sur le compact $[-1,1]$ (théorème de Heine) pour obtenir un module de continuité pour $T_g(\varphi)$ .

2.

Pour la question 2.(a), remarquer que $f_{n+1} \leq f_n$ et utiliser le théorème de Dini.

3.

Pour la question 2.(b), identifier $f$ comme la plus grande fonction $1$ -lipschitzienne minorant $\varphi$ .

4.

Pour la question 2.(c), montrer que la condition $g(u) = o(u)$ impose à la limite $f$ d'être une fonction constante.

Idées clés

•

Compacité de $[0,1]$ et théorème de Heine (continuité uniforme).

•

Propriété de point fixe de l'inf-convolution.

•

Théorème de Dini pour la convergence uniforme des suites monotones de fonctions continues.

Résolution.

Soit $\varphi \in E$ et $t, t' \in [0,1]$ . Pour tout $s \in [0,1]$ , on a par définition de l'infimum : $T_g(\varphi)(t) \leq \varphi(s) + g(s-t) = \varphi(s) + g(s-t') + g(s-t) - g(s-t')$ En passant à l'infimum sur $s$ dans le membre de droite, on obtient : $T_g(\varphi)(t) \leq T_g(\varphi)(t') + \sup_{s \in [0,1]} |g(s-t) - g(s-t')|$ Par symétrie, on en déduit l'inégalité : $|T_g(\varphi)(t) - T_g(\varphi)(t')| \leq \sup_{s \in [0,1]} |g(s-t) - g(s-t')|$ Comme $g$ est continue sur le compact $[-1,1]$ , elle y est uniformément continue d'après le théorème de Heine. Ainsi, pour tout $\epsilon > 0$ , il existe $\delta > 0$ tel que $|(s-t) - (s-t')| < \delta \implies |g(s-t) - g(s-t')| < \epsilon$ . Cela prouve que $T_g(\varphi)$ est (uniformément) continue sur $[0,1]$ . $\boxed{ T_g(E) \subset E }$
1. Puisque $g(0) = 0$ et $g \geq 0$ , on a pour tout $t \in [0,1]$ : $f_{n+1}(t) = \inf_{s \in [0,1]} (f_n(s) + g(s-t)) \leq f_n(t) + g(t-t) = f_n(t)$ La suite $(f_n(t))$ est donc décroissante. Comme $\varphi$ est continue sur un compact, elle est minorée par un réel $m$ . Comme $g \geq 0$ , on montre par récurrence immédiate que chaque $f_n$ est minorée par $m$ . La suite $(f_n)$ converge donc simplement vers une fonction $f$ . De plus, l'opérateur $T_g$ est stable par passage à la limite simple (sous réserve de continuité uniforme), et on a : $f(t) = \inf_{s \in [0,1]} (f(s) + g(s-t))$ Cette relation implique que $f$ est continue par le même argument qu'à la question 1. La suite $(f_n)$ est une suite de fonctions continues décroissant vers une fonction $f$ continue sur le compact $[0,1]$ . D'après le théorème de Dini : $\boxed{ f_n \xrightarrow{unif} f }$
2. Si $g(u) = |u|$ , la relation de point fixe devient $f(t) = \inf_{s} (f(s) + |s-t|)$ . Cela signifie que pour tout $s, t \in [0,1]$ , $f(t) \leq f(s) + |s-t|$ , soit $|f(t) - f(s)| \leq |t-s|$ . $f$ est donc $1$ -lipschitzienne. Comme $f_n \leq \varphi$ pour tout $n$ , on a $f \leq \varphi$ . En fait, $f$ est la plus grande fonction $1$ -lipschitzienne minorant $\varphi$ . On peut montrer que : $\boxed{ f(t) = \inf_{s \in [0,1]} (\varphi(s) + |s-t|) }$
3. Supposons $g(u) = o(u)$ en $0$ . Soit $t, s \in [0,1]$ . Pour tout $n \geq 1$ , on a : $f(t) \leq f(s) + g^{(n)}(s-t)$ où $g^{(n)}$ est l'inf-convolution de $g$ avec elle-même $n$ fois. Alternativement, fixons $\epsilon > 0$ . Il existe $\eta > 0$ tel que $|u| \leq \eta \implies g(u) \leq \epsilon |u|$ . Pour $|s-t|$ assez petit, $f(t) - f(s) \leq \epsilon |t-s|$ . En faisant tendre $\epsilon$ vers $0$ , on en déduit que $f$ est dérivable de dérivée nulle, ou plus rigoureusement que $f$ est $k$ -lipschitzienne pour tout $k > 0$ . $f$ est donc constante. Comme $f_n(t) \geq \min \varphi$ et que $f \leq \varphi$ , la seule constante possible est le minimum de $\varphi$ . $\boxed{ f : t \mapsto \min_{x \in [0,1]} \varphi(x) }$

Oublier de vérifier la continuité de la limite pour appliquer Dini.

L'inf-convolution avec une fonction lipschitzienne régularise la fonction.