Convergence d'opérateurs d'interpolation sécante

1. Propriétés élémentaires des opérateurs $T_I$.

Soit $I = [a,b]$. L'application $T_I$ est clairement linéaire par construction de la fonction affine par morceaux. De plus, sur l'intervalle $I$, $T_I(f)$ est une fonction affine reliant $(a, f(a))$ à $(b, f(b))$.

Par le principe du maximum pour les fonctions affines, on a :

Comme $T_I(f) = f$ en dehors de $I$, on en déduit que : Ainsi, chaque $T_I$ est un endomorphisme continu de $E$ de norme subordonnée inférieure ou égale à $1$.

2. Cas d'une fonction $f$ convexe.

Supposons que $f$ soit convexe sur $[0,1]$. Sur l'intervalle $I = [a,b]$, le graphe de $T_I(f)$ est la corde reliant les points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$. D'après la définition de la convexité, la corde est toujours située au-dessus du graphe de la fonction. On a donc :

Montrons que $T_I(f)$ est encore convexe. La fonction est convexe sur $[0,a]$, $[a,b]$ (car affine) et $[b,1]$. Il suffit de vérifier la croissance des pentes. Soient $x_1 < a < x_2 < b < x_3$. Comme $f$ est convexe, la pente entre $x_1$ et $a$ est inférieure à la pente de la corde sur $[a,b]$, laquelle est inférieure à la pente entre $b$ et $x_3$. La fonction $T_I(f)$ est donc convexe sur $[0,1]$.

Par récurrence, si $f$ est convexe, la suite $(f_n)$ est une suite de fonctions convexes telle que $f_n \leq f_{n+1}$ pour tout $n$. La suite $(f_n)$ est donc croissante. Comme elle est majorée (par $\|f\|_\infty$), elle converge simplement vers une fonction $f_\infty$.

La limite simple $f_\infty$ d'une suite de fonctions convexes est convexe. Une fonction convexe sur un segment $[0,1]$ est continue, sauf éventuellement aux bornes. Or ici $f_n(0) = f(0)$ et $f_n(1) = f(1)$ pour tout $n$, donc $f_\infty(0)=f(0)$ et $f_\infty(1)=f(1)$, assurant la continuité aux bornes. D'après le théorème de Dini, la convergence simple d'une suite monotone de fonctions continues vers une limite continue sur un compact est uniforme.

3. Cas d'une fonction $f \in \mathcal{C$^2([0,1], \mathbb{R}).}

Soit $f \in \mathcal{C}^2([0,1])$. Puisque $f''$ est continue sur le segment $[0,1]$, elle est bornée. Soit $M = \max_{[0,1]} |f''(x)|$. Considérons la fonction $g(x) = f(x) + \frac{M}{2}x^2$. On a $g''(x) = f''(x) + M \geq 0$, donc $g$ est convexe. Posons également $h(x) = \frac{M}{2}x^2$, qui est aussi convexe. On a alors $f = g - h$.

Par linéarité de $T_I$, on a $f_n = T_{I_n} \dots T_{I_1}(g) - T_{I_n} \dots T_{I_1}(h) = g_n - h_n$. D'après le point précédent, $(g_n)$ et $(h_n)$ convergent uniformément. Leur différence $(f_n)$ converge donc également uniformément.

4. Conclusion par densité.

L'espace $\mathcal{C}^2([0,1])$ est dense dans $(E, \|\cdot\|_\infty)$. Soit $f \in E$ et $\epsilon > 0$. Il existe $\phi \in \mathcal{C}^2([0,1])$ telle que $\|f - \phi\|_\infty \leq \epsilon$. Notons $S_n = T_{I_n} \circ \dots \circ T_{I_1}$. Par linéarité :

En utilisant $\|S_n\| \leq 1$, il vient : Puisque $(\phi_n)$ converge uniformément, elle est de Cauchy. Pour $n, m$ assez grands, on a $\|S_n(\phi) - S_m(\phi)\|_\infty \leq \epsilon$. La suite $(f_n)$ est donc de Cauchy dans l'espace complet $(E, \|\cdot\|_\infty)$.