Opérateur de moyenne maximale et enveloppe concave

Résolution.

1. Soit $\epsilon > 0$. Puisque $f$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$, il existe $\delta > 0$ tel que :
   $$\forall (u, v) \in \mathbb{R}^2,   |u-v| \le \delta \implies |f(u) - f(v)| \le \epsilon$$
   Posons $A_f(x, t) = \frac{1}{2t} \int_{x-t}^{x+t} f(u)   \mathrm{d}u$. Pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ tel que $|x-y| \le \delta$, on a :
   $$A_f(x, t) = \frac{1}{2t} \int_{y-t}^{y+t} f(v + x - y)   \mathrm{d}v$$
   Ainsi, on peut majorer la différence des moyennes :
   $$|A_f(x, t) - A_f(y, t)| \le \frac{1}{2t} \int_{y-t}^{y+t} |f(v + x - y) - f(v)|   \mathrm{d}v$$
   Comme $|(v + x - y) - v| = |x - y| \le \delta$, on en déduit $|f(v + x - y) - f(v)| \le \epsilon$, d'où :
   $$\forall t > 0,   |A_f(x, t) - A_f(y, t)| \le \frac{1}{2t} \int_{y-t}^{y+t} \epsilon   \mathrm{d}v = \epsilon$$
   Par propriété du supremum, on a $|\sup_t A_f(x, t) - \sup_t A_f(y, t)| \le \sup_t |A_f(x, t) - A_f(y, t)|$. On conclut :
   $$\boxed{\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2,   |x-y| \le \delta \implies |M_f(x) - M_f(y)| \le \epsilon}$$
   L'opérateur $M$ préserve donc le module de continuité uniforme.

2. Analyse de la convergence simple : D'après le théorème de la moyenne, $\lim_{t \to 0} A_{f_n}(x, t) = f_n(x)$. Ainsi, $M_{f_n}(x) \ge f_n(x)$. La suite $(f_n(x))$ est donc croissante. Comme $f$ est majorée par $S = \sup_{\mathbb{R}} f$, une récurrence immédiate montre que chaque $f_n$ est majorée par $S$ car :
   $$A_{f_n}(x, t) \le \frac{1}{2t} \int_{x-t}^{x+t} S   \mathrm{d}u = S$$
   La suite $(f_n)$ converge donc simplement vers une fonction $f_\infty : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que $f \le f_\infty \le S$.

   Convergence uniforme sur tout segment : D'après la question 1, toutes les fonctions $f_n$ sont uniformément continues avec le même module de continuité $\omega_f$. La limite simple $f_\infty$ hérite de ce module de continuité : elle est donc continue. Sur un segment $K \subset \mathbb{R}$, une suite de fonctions croissante convergeant simplement vers une fonction continue converge uniformément (Théorème de Dini). Alternativement, l'équicontinuité uniforme assure la convergence uniforme sur tout compact.

   $$\boxed{f_n \xrightarrow[n \to \infty]{\text{unif. localement}} f_\infty}$$

   Caractérisation de la limite : Par continuité de l'opérateur $M$ pour la topologie de la convergence uniforme (établie par la conservation du module), on a $f_\infty = M_{f_\infty}$. Cela signifie que pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $t > 0$ :

   $$f_\infty(x) \ge \frac{1}{2t} \int_{x-t}^{x+t} f_\infty(u)   \mathrm{d}u$$
   Cette propriété (valeur au centre supérieure à la moyenne) caractérise les fonctions concaves pour les fonctions continues. Ainsi, $f_\infty$ est une fonction concave. De plus, $f_\infty$ est la plus petite fonction concave majorant $f$. En effet, si $g$ est une fonction concave telle que $g \ge f$, alors par croissance de l'opérateur $M$ et l'inégalité de Hermite-Hadamard ($M_g = g$) :
   $$f \le g \implies M_f \le M_g = g \implies f_1 \le g \implies \dots \implies f_\infty \le g$$
   La fonction $f_\infty$ est donc l'enveloppe concave de $f$. Remarque : Si $f$ est également minorée sur $\mathbb{R}$, la seule fonction concave bornée supérieure à $f$ est la fonction constante égale à $\sup f$.
   $$\boxed{f_\infty = \text{Enveloppe concave de } f}$$