Étude d'une série de fonctions rationnelles

Résolution.

1. Domaine de définition. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $f_n(x) \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{2x}{n^2}$. Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, par le théorème de comparaison des séries à termes positifs (en considérant $|f_n(x)|$), la série $\sum f_n(x)$ converge absolument pour tout $x \in \mathbb{R}$.
   $$\boxed{\mathcal{D}_f = \mathbb{R}}$$

2. Continuité. Remarquons d'abord que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n$ est impaire, donc $f$ est impaire. Il suffit d'étudier la continuité sur $\mathbb{R}^+$. La fonction $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est :
   $$f_n'(x) = 2 \frac{n^2 - x^2}{(x^2 + n^2)^2}$$
   Soit $A > 0$. Pour tout $n > A$, la dérivée $f_n'$ est strictement positive sur $[0, A]$. Ainsi, $f_n$ est croissante sur $[0, A]$ et :
   $$\forall x \in [0, A],   |f_n(x)| \leqslant f_n(A) = \frac{2A}{A^2 + n^2}$$
   Comme $f_n(A) \sim \frac{2A}{n^2}$, la série $\sum f_n$ converge normalement sur le segment $[0, A]$. Les fonctions $f_n$ étant continues, la somme $f$ est continue sur tout segment $[0, A]$, donc sur $\mathbb{R}^+$. Par imparité, on conclut :
   $$\boxed{f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})}$$

3. Limites aux bornes. Comme $f(0) = \sum_{n=1}^\infty 0 = 0$, par continuité en $0$, on a :
   $$\boxed{\lim_{x \to 0} f(x) = 0}$$
   Pour la limite en $+\infty$, fixons $x > 0$. La fonction $\varphi_x : t \mapsto \frac{2x}{x^2 + t^2}$ est continue et strictement décroissante sur $[0, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale, nous avons l'encadrement classique :
   $$\int_1^{+\infty} \frac{2x}{x^2 + t^2}   dt \leqslant \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2x}{x^2 + n^2} \leqslant \int_0^{+\infty} \frac{2x}{x^2 + t^2}   dt$$
   Calculons la primitive : $\int \frac{2x}{x^2 + t^2}   dt = 2 \arctan\left(\frac{t}{x}\right) + C$. L'intégrale de droite vaut :
   $$\int_0^{+\infty} \frac{2x}{x^2 + t^2}   dt = 2 \left[ \arctan\left(\frac{t}{x}\right) \right]_0^{+\infty} = 2 \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \pi$$
   L'intégrale de gauche vaut :
   $$\int_1^{+\infty} \frac{2x}{x^2 + t^2}   dt = 2 \left[ \arctan\left(\frac{t}{x}\right) \right]_1^{+\infty} = \pi - 2\arctan\left(\frac{1}{x}\right)$$
   On en déduit l'encadrement :
   $$\pi - 2\arctan\left(\frac{1}{x}\right) \leqslant f(x) \leqslant \pi$$
   Comme $\lim_{x \to +\infty} \arctan(1/x) = 0$, le théorème des gendarmes impose :
   $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pi}$$
   Par imparité, on a également $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\pi$.