Étude asymptotique d'une série de fonctions

Résolution.

1. Détermination du domaine de définition. Notons $u_n(x) = \frac{x}{n(1 + n^2 x)}$. Les fonctions $u_n$ sont définies sur $\mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{n^2}\}$. Soit $D = \mathbb{R} \setminus \{ -\frac{1}{n^2} \mid n \in \mathbb{N}^* \}$. Si $x = 0$, $u_n(0) = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, donc la série converge et $f(0) = 0$. Pour $x \in D \setminus \{0\}$, on effectue un développement asymptotique du terme général :
   $$u_n(x) = \frac{x}{n(1 + n^2 x)} \underset{n \to +\infty}{=} \frac{x}{n^3 x (1 + \frac{1}{n^2 x})} \sim \frac{1}{n^3}$$
   La série $\sum \frac{1}{n^3}$ étant une série de Riemann convergente ($3 > 1$), par comparaison de séries à termes positifs (pour $n$ assez grand), la série $\sum u_n(x)$ converge absolument.
   $$\boxed{\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{n^2}, n \in \mathbb{N}^* \right\}}$$

2. Limite en $+\infty$. Étudions la convergence normale de la série sur $I = [0, +\infty[$. Pour $x \geq 0$, la fonction $u_n$ est dérivable et :
   $$u_n'(x) = \frac{n(1+n^2x) - x(n^3)}{n^2(1+n^2x)^2} = \frac{n}{n^2(1+n^2x)^2} = \frac{1}{n(1+n^2x)^2} > 0$$
   La fonction $u_n$ est donc croissante sur $[0, +\infty[$. Ses bornes sont $u_n(0) = 0$ et :
   $$\lim_{x \to +\infty} u_n(x) = \frac{1}{n^3}$$
   On en déduit que $\sup_{x \in [0, +\infty[} |u_n(x)| = \frac{1}{n^3}$. Comme la série $\sum \frac{1}{n^3}$ converge, la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement sur $[0, +\infty[$. D'après le théorème de permutation des limites :
   $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \lim_{x \to +\infty} u_n(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3}$$
   $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = \zeta(3)}$$

3. Équivalent en $0^+$. Soit $x > 0$. Considérons la fonction $\varphi : t \mapsto \frac{x}{t(1 + xt^2)}$ sur $[1, +\infty[$. Cette fonction est continue, positive et décroissante sur $[1, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale, on a :
   $$\int_1^{+\infty} \varphi(t)   dt \leq \sum_{n=1}^{+\infty} \varphi(n) \leq \varphi(1) + \int_1^{+\infty} \varphi(t)   dt$$
   Calculons l'intégrale $I(x) = \int_1^{+\infty} \frac{x}{t(1+xt^2)}   dt$. On utilise une décomposition en éléments simples : $\frac{x}{t(1+xt^2)} = \frac{x}{t} - \frac{x^2 t}{1+xt^2}$.
   $$I(x) = \left[ x \ln(t) - \frac{x}{2} \ln(1+xt^2) \right]_1^{+\infty} = \left[ \frac{x}{2} \ln\left( \frac{t^2}{1+xt^2} \right) \right]_1^{+\infty}$$
   En $+\infty$, le terme à l'intérieur du logarithme tend vers $1/x$. En $1$, il vaut $1/(1+x)$.
   $$I(x) = \frac{x}{2} \ln\left( \frac{1}{x} \right) - \frac{x}{2} \ln\left( \frac{1}{1+x} \right) = -\frac{x \ln x}{2} + \frac{x \ln(1+x)}{2}$$
   Quand $x \to 0^+$, on a $I(x) \sim -\frac{x \ln x}{2}$ car $x \ln(1+x) \sim x^2$ est négligeable devant $x \ln x$. Comme $\varphi(1) = \frac{x}{1+x} \sim x$ est également négligeable devant $x \ln x$, l'encadrement précédent permet de conclure :
   $$\boxed{f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} -\frac{x \ln x}{2}}$$