Convergence d'une série de fonctions à produit infini

On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies sur $\mathbb{R}_+$ par :

f_n(x) = \frac{x^n}{(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^n)}   \text{pour } n \in \mathbb{N}^*

et on pose

f_0(x) = 1

.

Étudier la convergence simple, puis la convergence uniforme de la série de fonctions $\sum f_n$ sur $\mathbb{R}_+$ .

1.

Introduire la suite de fonctions auxiliaire $g_n(x) = \frac{1}{\prod_{k=1}^n (1+x^k)}$ .

2.

Exprimer $f_n$ comme une différence de deux termes consécutifs de la suite $(g_n)$ .

3.

Pour la convergence uniforme, étudier la continuité de la fonction limite et utiliser le théorème de Dini ou des majorations directes par morceaux.

Idées clés

•

Transformation d'une série en suite par télescopage.

•

Étude de la convergence d'un produit infini via le passage au logarithme.

•

Utilisation de la continuité pour établir la convergence uniforme sur un intervalle non borné.

1. Étude de la convergence simple.

Posons, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $x \in \mathbb{R}_+$ :

g_n(x) = \frac{1}{\prod_{k=1}^n (1+x^k)}   \text{et}   g_0(x) = 1

On remarque que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :

g_{n-1}(x) - g_n(x) = \frac{1}{\prod_{k=1}^{n-1} (1+x^k)} - \frac{1}{\prod_{k=1}^{n} (1+x^k)} = \frac{(1+x^n) - 1}{\prod_{k=1}^n (1+x^k)} = \frac{x^n}{\prod_{k=1}^n (1+x^k)}

On identifie ainsi $f_n(x) = g_{n-1}(x) - g_n(x)$ pour $n \geq 1$ . La somme partielle de la série s'écrit alors :

S_N(x) = f_0(x) + \sum_{n=1}^N (g_{n-1}(x) - g_n(x)) = 1 + g_0(x) - g_N(x) = 2 - g_N(x)

La convergence simple de la série $\sum f_n$ équivaut donc à la convergence simple de la suite $(g_N)$ .

Cas $x > 1$ : On a $1+x^k \geq x^k$ . Donc $0 \leq g_N(x) \leq \frac{1}{x^{N(N+1)/2}}$ . Comme $x > 1$ , $g_N(x) \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0$ . La série converge simplement vers $2$ .
Cas $x = 1$ : $g_N(1) = \frac{1}{2^N} \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0$ . La série converge simplement vers $2$ .
Cas $0 \leq x < 1$ : Comme $x^k \geq 0$ , la suite $(g_N(x))$ est décroissante et minorée par $0$ , donc elle converge vers une limite $g(x) \in [0, 1]$ . En passant au logarithme pour $x \in ]0, 1[$ : $\ln(g_N(x)) = - \sum_{k=1}^N \ln(1+x^k)$ Comme $\ln(1+x^k) \sim x^k$ et que la série géométrique $\sum x^k$ converge, la série $\sum \ln(1+x^k)$ converge. Ainsi, $g(x) = \exp\left( - \sum_{k=1}^{+\infty} \ln(1+x^k) \right) > 0$ . Pour $x=0$ , $g_N(0)=1$ donc $g(0)=1$ .

Conclusion sur la convergence simple : La série $\sum f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$ vers la fonction $S$ définie par :

\boxed{ S(x) = \begin{cases} 2 & \text{si } x \geq 1 2 - \prod_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{1+x^k} & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases} }

2. Étude de la convergence uniforme.

La convergence uniforme de $\sum f_n$ équivaut à la convergence uniforme de $(g_N)$ vers $g$ sur $\mathbb{R}_+$ .

Étape 1 : Continuité de la limite. La fonction $g$ est clairement continue sur $[0, 1[$ et sur $]1, +\infty[$ comme produit convergent de fonctions continues. Étudions la limite en $1^-$ . Pour $x \in [0, 1[$ :

\sum_{k=1}^{+\infty} \ln(1+x^k) \geq \sum_{k=1}^M \ln(1+x^k) \xrightarrow[x \to 1^-]{} M \ln(2)

Ceci étant vrai pour tout

M \in \mathbb{N}

, par passage à la limite sur

M

,

\sum_{k=1}^{+\infty} \ln(1+x^k) \xrightarrow[x \to 1^-]{} +\infty

. Par composition avec l'exponentielle,

\lim_{x \to 1^-} g(x) = 0

. Comme

g(1)=0

et

g(x)=0

pour

x>1

,

g

est continue sur

\mathbb{R}_+

.

Étape 2 : Convergence uniforme sur $[0, 1]$ . Les fonctions $g_N$ sont continues sur le compact $[0, 1]$ . La suite $(g_N)$ est monotone (décroissante) et converge vers une fonction $g$ continue. D'après le premier théorème de Dini, la convergence est uniforme sur $[0, 1]$ .

Étape 3 : Convergence uniforme sur $[1, +\infty[$ . Pour tout $x \geq 1$ , on a $0 \leq g_N(x) \leq g_N(1) = \frac{1}{2^N}$ . Comme le majorant $2^{-N}$ ne dépend pas de $x$ et tend vers $0$ , la suite $(g_N)$ converge uniformément vers $0$ sur $[1, +\infty[$ .

Conclusion générale : La convergence est uniforme sur $[0, 1]$ et sur $[1, +\infty[$ , donc :

\boxed{ \text{La série } \sum f_n \text{ converge uniformément sur } \mathbb{R}_+ }

Oublier de vérifier la continuité de la limite globale, notamment au point de raccordement x=1.

L'étude d'une série télescopique se ramène à l'étude de la convergence de la suite associée. Le théorème de Dini est un outil puissant pour la convergence uniforme de suites monotones.