Convergence d'une suite de fonctions trigonométriques

Résolution.

1. Convergence simple. Soit $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$. Si $x \in [0, \frac{\pi}{2}[$, on a $0 \leqslant \sin x < 1$. Par conséquent, la suite géométrique $(\sin x)^n$ converge vers $0$. On en déduit :
   $$\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = 0$$
   Si $x = \frac{\pi}{2}$, alors $\sin x = 1$. On a donc $f_n(\frac{\pi}{2}) = h(\frac{\pi}{2}) \cdot 1^n = h(\frac{\pi}{2})$. Soit $f$ la fonction limite simple définie sur $[0, \frac{\pi}{2}]$ par :
   $$\boxed{ f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0, \frac{\pi}{2}[$$
   h(\frac{\pi}{2}) & \text{si } x = \frac{\pi}{2} \end{cases} }

2. Convergence uniforme.

   On distingue deux situations selon la valeur de $h(\frac{\pi}{2})$.

   Premier cas : $h(\frac{\pi${2}) \neq 0.} Dans ce cas, la fonction $f$ présente une discontinuité au point $\frac{\pi}{2}$ puisque :

   $$\lim_{x \to (\pi/2)^-} f(x) = 0 \neq h\left(\frac{\pi}{2}\right)$$
   Or, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est continue sur $[0, \frac{\pi}{2}]$ comme produit de fonctions continues. Si la suite $(f_n)$ convergeait uniformément sur $[0, \frac{\pi}{2}]$, sa limite simple $f$ serait nécessairement continue sur ce segment.
   $$\boxed{ \text{Si } h\left(\frac{\pi}{2}\right) \neq 0, \text{ la convergence n'est pas uniforme sur } [0, \pi/2]. }$$

   Second cas : $h(\frac{\pi${2}) = 0.} Ici, la fonction limite $f$ est la fonction nulle sur $[0, \frac{\pi}{2}]$. Fixons $\varepsilon > 0$. Par continuité de $h$ en $\frac{\pi}{2}$, il existe $\alpha \in ]0, \frac{\pi}{2}[$ tel que :

   $$\forall x \in \left[\frac{\pi}{2} - \alpha, \frac{\pi}{2}\right],   |h(x) - h(\frac{\pi}{2})| = |h(x)| \leqslant \varepsilon$$
   Alors, pour tout $x \in [\frac{\pi}{2} - \alpha, \frac{\pi}{2}]$ et tout $n \in \mathbb{N}$ :
   $$|f_n(x)| = |h(x)| \cdot (\sin x)^n \leqslant |h(x)| \leqslant \varepsilon$$
   Sur l'intervalle $[0, \frac{\pi}{2} - \alpha]$, la fonction $h$ est continue sur un segment donc bornée. Posons $M = \sup_{x \in [0, \pi/2]} |h(x)|$. Pour tout $x \in [0, \frac{\pi}{2} - \alpha]$ :
   $$|f_n(x)| \leqslant M \cdot (\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha))^n$$
   Comme $0 \leqslant \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) < 1$, il existe un rang $n_0$ tel que pour tout $n \geqslant n_0$ :
   $$M \cdot (\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha))^n \leqslant \varepsilon$$
   Finalement, pour tout $n \geqslant n_0$ et tout $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ :
   $$|f_n(x)| \leqslant \varepsilon$$
   On a donc $\sup_{x \in [0, \pi/2]} |f_n(x)| \to 0$.
   $$\boxed{ \text{Si } h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \text{ la suite } (f_n) \text{ converge uniformément vers la fonction nulle.} }$$