Convergence d'une série de fonctions trigonométriques

On considère la série de fonctions $\sum f_n$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par le terme général suivant :

f_n(x) = \sin(x)e^{-nx}   \text{pour } n \in \mathbb{N}^*

Justifier que la série de fonctions $\sum f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$ et déterminer l'expression de sa somme, notée $S(x)$ .
La convergence de cette série est-elle uniforme sur l'intervalle $[0, +\infty[$ ?
Démontrer que la série converge uniformément sur tout intervalle de la forme $[a, +\infty[$ où $a > 0$ .

1.

Pour la somme, identifier une série géométrique pour $x > 0$ .

2.

Pour la convergence uniforme sur $\mathbb{R}_+$ , étudier la continuité de la somme $S$ en examinant sa limite en $0^+$ .

3.

Pour la convergence sur $[a, +\infty[$ , chercher une majoration du reste ou utiliser la convergence normale.

Idées clés

•

Sommation d'une série géométrique.

•

Théorème de continuité de la somme : si la convergence est uniforme et les $f_n$ sont continues, alors la somme est continue.

•

Convergence normale comme condition suffisante de convergence uniforme.

Résolution.

Convergence simple et calcul de la somme.
Soit $x \in \mathbb{R}_+$ .
Si $x = 0$ , alors pour tout $n \geq 1$ , $f_n(0) = \sin(0)e^0 = 0$ . La série $\sum f_n(0)$ est une série nulle, elle converge donc vers $0$ .
$\boxed{ S(0) = 0 }$
Si $x > 0$ , alors $0 < e^{-x} < 1$ . On reconnaît alors, à un facteur $\sin(x)$ près, le reste d'une série géométrique de raison $e^{-x}$ . La série converge simplement et sa somme est :
$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \sin(x) e^{-nx} = \sin(x) \sum_{n=1}^{+\infty} (e^{-x})^n$
En utilisant la formule de la somme d'une série géométrique $\sum_{n=1}^\infty q^n = \frac{q}{1-q}$ pour $|q|<1$ :
$S(x) = \sin(x) \frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}}$
Pour $x > 0$ , on peut simplifier cette expression en multipliant par $e^{x/2}$ au numérateur et au dénominateur :
$\boxed{ S(x) = \frac{\sin(x)}{e^x - 1} }$
Étude de la convergence uniforme sur $[0, +\infty[$ .
Toutes les fonctions $f_n$ sont continues sur $[0, +\infty[$ . Si la série convergeait uniformément sur $[0, +\infty[$ , alors la somme $S$ serait continue sur cet intervalle.
Analysons la limite de $S$ en $0^+$ . Au voisinage de $0$ , nous avons les développements limités suivants :
$\sin(x) = x + o(x) \text{et} e^x - 1 = x + o(x)$
Ainsi, par quotient d'équivalents :
$S(x) \sim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$
On en déduit :
$\lim_{x \to 0^+} S(x) = 1$
Or, nous avons calculé précédemment que $S(0) = 0$ . Comme la limite à droite en $0$ est différente de la valeur en $0$ , la fonction $S$ n'est pas continue en $0$ .
\boxed{ \text{La convergence n'est donc pas uniforme sur } [0, +\infty[. }
Convergence uniforme sur $[a, +\infty[$ .
Soit $a > 0$ . Pour tout $x \in [a, +\infty[$ , nous avons la majoration suivante en valeur absolue :
$|f_n(x)| = |\sin(x)| e^{-nx} \leq e^{-nx}$
Comme $|\sin(x)| \leq 1$ , on peut poser $u_n = e^{-na}$ . Pour tout $x \geq a$ :
$|f_n(x)| \leq (e^{-a})^n$
Puisque $a > 0$ , on a $0 < e^{-a} < 1$ . La série numérique $\sum (e^{-a})^n$ est une série géométrique convergente. Par conséquent, la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur $[a, +\infty[$ .
\boxed{ \text{La convergence normale implique la convergence uniforme sur } [a, +\infty[. }

Discontinuité de la somme en la borne du domaine.

Le lien entre continuité de la somme et convergence uniforme.