Série d'intégrales oscillantes et équivalent

Pour tout entier naturel $n$ , on définit l'intégrale suivante :

I_n = \int_{n\pi}^{(n + 1)\pi}\frac{x^2\sin x}{1 + x^3}   \mathrm{d}x

Déterminer un équivalent de $I_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ .
Étudier la nature de la série de terme général $I_n$ .

1.

Effectuer le changement de variable $u = x - n\pi$ pour ramener l'intégration sur l'intervalle $[0, \pi]$ .

2.

Pour l'équivalent, utiliser un développement asymptotique de l'intégrande à l'intérieur de l'intégrale ou le théorème de convergence dominée.

3.

Pour la nature de la série, on pourra invoquer le critère spécial des séries alternées ou utiliser le développement asymptotique de $I_n$ pour identifier le terme prépondérant et le reste.

Idées clés

•

Changement de variable pour fixer les bornes.

•

Développement asymptotique d'une intégrale à paramètre.

•

Critère spécial des séries alternées (CSSA).

1. Recherche d'un équivalent de $I_n$ .

Soit $n \in \mathbb{N}$ . Effectuons le changement de variable affine $u = x - n\pi$ , d'où $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$ . Les bornes deviennent $0$ et $\pi$ . On a alors :

I_n = \int_{0}^{\pi}\frac{(u + n\pi)^2 \sin(u + n\pi)}{1 + (u + n\pi)^3}   \mathrm{d}u

En utilisant la relation $\sin(u + n\pi) = (-1)^n \sin u$ , on obtient :

I_n = (-1)^n \int_{0}^{\pi}\frac{(u + n\pi)^2}{1 + (u + n\pi)^3} \sin u   \mathrm{d}u

Analysons le comportement de la fonction sous l'intégrale pour $u \in [0, \pi]$ . Posons $f_n(u) = \frac{(u + n\pi)^2}{1 + (u + n\pi)^3} \sin u$ . On remarque que :

\frac{(u + n\pi)^2}{1 + (u + n\pi)^3} = \frac{(n\pi)^2 (1 + \frac{u}{n\pi})^2}{(n\pi)^3 (1 + \frac{u}{n\pi})^3 + 1} = \frac{1}{n\pi} \frac{(1 + \frac{u}{n\pi})^2}{(1 + \frac{u}{n\pi})^3 + \frac{1}{(n\pi)^3}}

Pour $u$ fixé dans $[0, \pi]$ , on a la limite simple :

n \pi f_n(u) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \sin u

Par convergence dominée (ou par un développement asymptotique uniforme sur $[0, \pi]$ ), on en déduit :

\int_0^\pi f_n(u)   \mathrm{d}u \sim \frac{1}{n\pi} \int_0^\pi \sin u   \mathrm{d}u = \frac{2}{n\pi}

On conclut donc pour l'équivalent de $I_n$ :

\boxed{ I_n \sim \frac{2(-1)^n}{n\pi} }

2. Nature de la série $\sum I_n$ .

Méthode 1 : Développement asymptotique. Poussons le développement de l'intégrale un peu plus loin pour analyser la convergence. On a $\frac{(u + n\pi)^2}{1 + (u + n\pi)^3} = \frac{1}{n\pi} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ uniformément par rapport à $u$ sur $[0, \pi]$ . Par intégration, il vient :

I_n = \frac{2(-1)^n}{n\pi} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)

La série $\sum \frac{2(-1)^n}{n\pi}$ converge d'après le critère des séries alternées. La série du reste $\sum O(1/n^2)$ converge absolument. Par somme de deux séries convergentes, la série $\sum I_n$ converge.

Méthode 2 : Critère spécial des séries alternées. Posons $a_n = |I_n| = \int_0^\pi g(n\pi + u) \sin u \mathrm{d}u$ avec $g(x) = \frac{x^2}{1+x^3}$ . La fonction $g$ est dérivable et $g'(x) = \frac{x(2-x^3)}{(1+x^3)^2}$ , donc $g$ est décroissante sur $[\sqrt[3]{2}, +\infty[$ .

Pour $n$ assez grand ( $n \geq 1$ ), pour tout $u \in [0, \pi]$ :

n\pi + u \leq (n+1)\pi + u \implies g(n\pi + u) \geq g((n+1)\pi + u)

En multipliant par

\sin u \geq 0

et en intégrant, on obtient

a_n \geq a_{n+1}

. Comme

a_n \to 0

d'après l'équivalent trouvé précédemment, le CSSA s'applique.

\boxed{\text{La série } \sum I_n \text{ converge.}}

Utiliser l'équivalent d'une série alternée sans vérifier le reste ou les conditions du CSSA.

Changement de variable pour ramener à un intervalle fixe et étude asymptotique de l'intégrande.