Étude d'un produit et constante d'Euler

Résolution.

1. Calculons le rapport des termes successifs :
   $$\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} = \frac{(n+1)!}{\prod_{k=1}^{n+1} (x+k)} \cdot \frac{\prod_{k=1}^n (x+k)}{n!} = \frac{n+1}{x+n+1}$$

   Passons au logarithme en factorisant par $n$ au numérateur et au dénominateur :

   $$\ln \left( \frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right) = \ln \left( \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{x+1}{n}} \right) = \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) - \ln \left( 1 + \frac{x+1}{n} \right)$$

   En effectuant un développement limité à l'ordre 2 quand $n \to +\infty$ :

   $$\ln \left( \frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right) = \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) - \left( \frac{x+1}{n} - \frac{(x+1)^2}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \right)$$

   En regroupant les termes :

   $$\ln \left( \frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right) = -\frac{x}{n} + \frac{(x+1)^2 - 1}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

   On pose $w_n(x) = \frac{x^2+2x}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Comme $w_n(x) \sim \frac{Constante}{n^2}$, la série $\sum w_n(x)$ est absolument convergente. On a bien :

   $$\boxed{ \ln \left( \frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} \right) = -\frac{x}{n} + w_n(x) }$$

2. 1. Soit $w_k = \frac{1}{k} - \int_k^{k+1} \frac{dt}{t}$. Par comparaison série-intégrale, la fonction $t \mapsto 1/t$ étant décroissante, on montre que $0 \leq w_k \leq \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$. La série $\sum w_k$ converge par comparaison. Sa somme partielle est $\sum_{k=1}^{n-1} w_k = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} - \ln(n)$, ce qui prouve la convergence de $(v_n)$. La limite $\gamma \approx 0,577$ est la constante d'Euler.

   2. Numériquement, la suite converge assez lentement. Pour $n=100$, on observerait des valeurs proches de 0,58, ce qui permet de conjecturer une limite comprise entre 0,5 et 0,6.

3. Cherchons $\alpha$ tel que la suite $a_n = n^\alpha u_n(x)$ converge vers une limite finie non nulle. Étudions la série de terme général $c_n = \ln(a_{n+1}) - \ln(a_n)$ :
   $$c_n = \alpha \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) + \ln\left(\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right)$$

   D'après la question 1 :

   $$c_n = \alpha \left( \frac{1}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) - \frac{x}{n} + w_n(x) = \frac{\alpha - x}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

   La série $\sum c_n$ converge si et seulement si son terme en $1/n$ est nul, soit $\alpha = x$. Dans ce cas, $\sum c_n$ converge vers une limite $L$. Alors $\ln(a_n)$ converge vers $L$, donc $a_n \to e^L = C > 0$. On en déduit :

   $$\boxed{ u_n(x) \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{C}{n^x} }$$

   Par critère de Riemann, la série $\sum u_n(x)$ converge si et seulement si $x > 1$.

4. Le domaine de définition est $D_S = ]1, +\infty[$. Pour $x=2$, calculons $u_n(2)$ :
   $$u_n(2) = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots (n+2)}$$
   Tous les termes du produit se simplifient sauf les deux premiers au numérateur et les deux derniers au dénominateur :
   $$u_n(2) = \frac{1 \cdot 2}{(n+1)(n+2)}$$

   Par décomposition en éléments simples :

   $$u_n(2) = 2 \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)$$

   La somme partielle est télescopique :

   $$\sum_{n=1}^N u_n(2) = 2 \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{N+2} \right)$$

   En passant à la limite $N \to +\infty$ :

   $$\boxed{ S(2) = 1 }$$