Étude d'une suite de fonctions récurrente

Pour tout réel $x \in [0,1]$ , on définit la suite de fonctions $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par les conditions initiales $u_0(x) = 0$ et $u_1(x) = x$ , ainsi que la relation de récurrence suivante :

\forall n \in \mathbb{N},   u_{n+2}(x) = u_{n+1}(x) + x^n u_n(x)

Implémenter une fonction Python \texttt{u(n, x)} calculant la valeur de $u_n(x)$ de manière itérative. Déterminer les valeurs approchées de $u_{10}(0,5)$ et $u_{10}(1)$ .
On souhaite observer le comportement de ces fonctions.
1. Proposer un script permettant de tracer les courbes de $u_n$ pour $n \in \{0, \dots, 10\}$ sur $[0, 1]$ .
2. Quelles conjectures peut-on formuler concernant la monotonie de la suite $(u_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ pour $x$ fixé, et celle de la fonction $x \mapsto u_n(x)$ pour $n$ fixé ?
Démontrer les conjectures émises à la question précédente.
Justifier l'inégalité classique : $\forall t \in \mathbb{R}, 1+t \le e^t$ .
Établir par récurrence que pour tout $n \ge 2$ et pour tout $x \in [0, 1[$ : $u_n(x) \le \exp \left( \sum_{k=0}^{n-2} x^k \right)$
En déduire que la suite de fonctions $(u_n)$ converge simplement sur l'intervalle $[0, 1[$ .
Pour un entier $n$ fixé, la fonction $u_n$ possède-t-elle une limite à gauche en $1$ ? Si oui, exprimer cette limite à l'aide d'une suite usuelle.

1.

Pour la question 1, une approche itérative évite les calculs redondants de la récursivité simple.

2.

Pour la question 3, procéder par récurrence (double si nécessaire) en utilisant le fait que $x \ge 0$ .

3.

Pour la question 5, utiliser l'inégalité $e^a + e^b - 1 \le e^{a+b}$ pour $a, b \ge 0$ , qui découle du développement de $(e^a-1)(e^b-1) \ge 0$ .

4.

Pour la question 6, utiliser le théorème de la limite monotone pour les suites réelles.

5.

Pour la question 7, remarquer que $u_n$ est une fonction polynomiale.

Idées clés

•

Récurrence double pour la positivité et la croissance.

•

Utilisation de l'exponentielle pour majorer un produit ou une somme complexe.

•

Lien entre récurrence linéaire et suite de Fibonacci.

Résolution.

On propose une version itérative pour gagner en efficacité : \begin{verbatim} def u(n, x): if n == 0: return 0.0 if n == 1: return float(x) u_prec, u_curr = 0.0, float(x) for k in range(n - 1): u_next = u_curr + (x**k) * u_prec u_prec, u_curr = u_curr, u_next return u_curr \end{verbatim} Par le calcul, on obtient : $\boxed{u_{10}(0,5) \approx 6,53125} \text{et} \boxed{u_{10}(1) = 55}$
1. On utilise \texttt{matplotlib.pyplot} pour le tracé.
2. On conjecture que pour tout $x \in [0, 1]$ , la suite $(u_n(x))_n$ est croissante et que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , la fonction $u_n$ est croissante sur $[0, 1]$ .
Fixons $x \in [0, 1]$ . Montrons par récurrence double que $u_n(x) \ge 0$ . C'est vrai pour $u_0$ et $u_1$ . Si $u_n(x), u_{n+1}(x) \ge 0$ , alors $u_{n+2}(x) = u_{n+1}(x) + x^n u_n(x) \ge 0$ . On en déduit : $u_{n+2}(x) - u_{n+1}(x) = x^n u_n(x) \ge 0$ La suite $(u_n(x))_n$ est donc croissante. Pour la croissance de $x \mapsto u_n(x)$ , on vérifie que $u_0, u_1, u_2(x)=x$ sont croissantes. Par récurrence, si $u_n$ et $u_{n+1}$ sont croissantes et positives, comme $x \mapsto x^n$ est croissante et positive sur $[0,1]$ , alors $u_{n+2}$ l'est par produit et somme de fonctions croissantes positives.
Soit $f(t) = e^t - (1+t)$ . On a $f'(t) = e^t - 1$ . $f'$ est négative sur $\mathbb{R}_-$ et positive sur $\mathbb{R}_+$ . Le minimum de $f$ est atteint en $0$ et vaut $f(0) = 0$ . Ainsi, $\forall t \in \mathbb{R}, f(t) \ge 0$ , soit : $\boxed{\forall t \in \mathbb{R}, 1+t \le e^t}$
Soit $x \in [0, 1[$ . Posons $S_m = \sum_{k=0}^{m} x^k$ . Initialisation : Pour $n=2$ , $u_2(x) = x$ et $\exp(S_0) = e^1$ . On a bien $x \le 1 \le e^1$ . Pour $n=3$ , $u_3(x) = x + x^2$ . On a $u_3(x) \le 1+x \le e^x \le e^{1+x} = \exp(S_1)$ . Hérédité : Supposons la propriété vraie aux rangs $n$ et $n+1$ . $u_{n+2}(x) = u_{n+1}(x) + x^n u_n(x) \le \exp(S_{n-1}) + x^n \exp(S_{n-2})$ . Comme $S_{n-1} = S_{n-2} + x^{n-1}$ , on a : $u_{n+2}(x) \le \exp(S_{n-2}) \left( e^{x^{n-1}} + x^n \right)$ D'après la question 4, $x^n \le e^{x^n} - 1$ . Donc : $e^{x^{n-1}} + x^n \le e^{x^{n-1}} + e^{x^n} - 1$ Or, pour $a, b \ge 0$ , $(e^a-1)(e^b-1) \ge 0 \implies e^{a+b} - e^a - e^b + 1 \ge 0 \implies e^a + e^b - 1 \le e^{a+b}$ . En posant $a = x^{n-1}$ et $b = x^n$ , on obtient : $e^{x^{n-1}} + x^n \le \exp(x^{n-1} + x^n)$ D'où $u_{n+2}(x) \le \exp(S_{n-2}) \exp(x^{n-1} + x^n) = \exp(S_n)$ , ce qui achève la récurrence. $\boxed{\forall n \ge 2, u_n(x) \le \exp\left(\sum_{k=0}^{n-2} x^k\right)}$
Pour $x \in [0, 1[$ , la série géométrique $\sum x^k$ converge vers $\frac{1}{1-x}$ . Ainsi, la suite $(u_n(x))_n$ est croissante et majorée par $\exp\left(\frac{1}{1-x}\right)$ . D'après le théorème de la limite monotone, la suite $(u_n(x))$ converge simplement vers une limite finie sur $[0, 1[$ .
Pour $n$ fixé, $u_n$ est une fonction polynomiale (par récurrence immédiate), elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ . La limite en $1$ est donc $u_n(1)$ . En $x=1$ , la relation devient $u_{n+2}(1) = u_{n+1}(1) + u_n(1)$ avec $u_0(1)=0$ et $u_1(1)=1$ . On reconnaît la suite de Fibonacci $(F_n)$ . $\boxed{\lim_{x \to 1^-} u_n(x) = F_n}$

Confusion entre limite en n et limite en x pour une suite de fonctions.

Utilisation de la croissance et d'un majorant exponentiel pour prouver la convergence simple.