Étude d'une série de fonctions rationnelles

Résolution.

1. 1. Soit $u_n(x) = \frac{x^2}{1 + n^2 x^2}$ pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}$. Si $x = 0$, $u_n(0) = 0$ pour tout $n$, donc la série converge et $f(0) = 0$. Si $x \neq 0$, $u_n(x) \sim \frac{x^2}{n^2 x^2} = \frac{1}{n^2}$. Par comparaison avec une série de Riemann convergente, la série $\sum u_n(x)$ converge. Le domaine de définition est donc :
      $$\boxed{ D_f = \mathbb{R} }$$
      Pour la continuité, on remarque que pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $n \geq 1$ :
      $$|u_n(x)| = \frac{x^2}{1+n^2x^2} \leq \frac{x^2}{n^2x^2} = \frac{1}{n^2}$$
      Comme la série numérique $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement, donc uniformément, sur $\mathbb{R}$. Chaque fonction $u_n$ étant continue sur $\mathbb{R}$, par théorème de continuité des séries de fonctions :
      $$\boxed{ f \text{ est continue sur } \mathbb{R} }$$

   2. Les fonctions $u_n$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$. Un calcul direct donne :
      $$u_n'(x) = \frac{2x(1+n^2x^2) - x^2(2n^2x)}{(1+n^2x^2)^2} = \frac{2x}{(1+n^2x^2)^2}$$
      Soit $[a, b]$ un segment inclus dans $\mathbb{R}^*$ (par exemple $a > 0$). Pour $x \in [a, b]$ :
      $$|u_n'(x)| \leq \frac{2|x|}{(n^2x^2)^2} = \frac{2}{n^4|x|^3} \leq \frac{2}{n^4 a^3}$$
      La série $\sum u_n'$ converge normalement sur tout segment de $\mathbb{R}^*$. Par le théorème de dérivation des séries de fonctions, $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur tout segment de $\mathbb{R}^*$, donc :
      $$\boxed{ f \text{ est de classe } \mathcal{C}^1 \text{ sur } \mathbb{R}^* }$$

   3. Étudions le taux d'accroissement en $0$ pour $x > 0$ :
      $$\frac{f(x) - f(0)}{x} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x}{1 + n^2 x^2}$$
      La fonction $t \mapsto \frac{x}{1+t^2x^2}$ est décroissante sur $[0, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale :
      $$\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1+t^2x^2}   dt \leq \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x}{1+n^2x^2} \leq x + \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1+t^2x^2}   dt$$
      En effectuant le changement de variable $u = tx$ ($du = x   dt$), on a :
      $$\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1+t^2x^2}   dt = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+u^2}   du = \frac{\pi}{2}$$
      On en déduit que $\frac{\pi}{2} \leq \frac{f(x)}{x} \leq x + \frac{\pi}{2}$. Par le théorème d'encadrement :
      $$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \frac{\pi}{2}$$
      Comme $f$ est paire, la limite à gauche est $-\frac{\pi}{2}$. Les limites à droite et à gauche diffèrent :
      $$\boxed{ f \text{ n'est pas dérivable en } 0 }$$

2. 1. Pour $x \neq 0$, on peut écrire :
      $$f(x) = u_0(x) + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^2}{1+n^2x^2} = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + \frac{1}{x^2}}$$
      Posons $v_n(x) = \frac{1}{n^2 + 1/x^2}$ pour $n \geq 1$. Pour $x \geq 1$, on a $0 \leq v_n(x) \leq \frac{1}{n^2}$. La série $\sum v_n$ converge normalement sur $[1, +\infty[$. On peut donc intervertir limite et somme en $+\infty$ :
      $$\lim_{x \to +\infty} \sum_{n=1}^{+\infty} v_n(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{n^2 + \frac{1}{x^2}} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$
      Ainsi, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 + \frac{\pi^2}{6}$. Un équivalent simple est la constante :
      $$\boxed{ g(x) = 1 + \frac{\pi^2}{6} }$$

   2. Calculons la différence :
      $$f(x) - g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n^2 + 1/x^2} - \frac{1}{n^2} \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{-1/x^2}{n^2(n^2 + 1/x^2)}$$
      On cherche l'équivalent de $x^2(f(x) - g(x)) = - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2(n^2 + 1/x^2)}$. Soit $w_n(x) = \frac{1}{n^2(n^2 + 1/x^2)}$. Pour $x \geq 1$, $|w_n(x)| \leq \frac{1}{n^4}$. La série $\sum w_n$ converge normalement sur $[1, +\infty[$. Par interversion limite-somme :
      $$\lim_{x \to +\infty} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2(n^2 + 1/x^2)} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$$
      D'où $x^2(f(x) - g(x)) \to -\frac{\pi^4}{90}$, ce qui donne l'équivalent :
      $$\boxed{ f(x) - g(x) \sim_{+\infty} - \frac{\pi^4}{90 x^2} }$$