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Équivalent d'une somme de Riemann généralisée

somme de Riemanncomparaison série-intégraleéquivalentintégrabilitéChangement de variableThéorème des gendarmes

Soit f:[0,+∞[→Rf : [0, +\infty[ \to \mathbb{R} une fonction continue, positive et décroissante sur son domaine. On suppose que ff est intégrable sur [0,+∞[[0, +\infty[. Pour tout réel x>0x > 0, on définit la fonction gg par :

g(x)=∑n=0+∞f(nx)g(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f(nx)

  1. Montrer que la fonction gg est bien définie sur ]0,+∞[]0, +\infty[.
  2. Déterminer la limite de xg(x)x g(x) lorsque xx tend vers 0+0^+.
  3. En déduire un équivalent simple de g(x)g(x) au voisinage de 0+0^+, en supposant ff non identiquement nulle.

1.

Pour la définition de gg, utiliser le critère de comparaison série-intégrale pour les fonctions monotones.

2.

Pour l'équivalent, encadrer la somme ∑n=1+∞f(nx)\sum_{n=1}^{+\infty} f(nx) par deux intégrales de la forme ∫f(tx)dt\int f(tx) \mathrm{d}t.

3.

Effectuer un changement de variable dans les intégrales obtenues pour faire apparaître 1/x1/x.

Idées clés

•

Comparaison série-intégrale pour les fonctions décroissantes.

•

Changement de variable dans une intégrale à paramètre.

•

Théorème des gendarmes pour les limites.

Résolution.

  1. Soit x>0x > 0 fixé. La fonction t↦f(tx)t \mapsto f(tx) est continue, positive et décroissante sur [0,+∞[[0, +\infty[. D'après le théorème de comparaison série-intégrale, la série ∑f(nx)\sum f(nx) est de même nature que l'intégrale ∫0+∞f(tx)dt\int_0^{+\infty} f(tx) \mathrm{d}t. En effectuant le changement de variable u=txu = tx (où x>0x > 0), on a :
    ∫0+∞f(tx)dt=1x∫0+∞f(u)du\int_0^{+\infty} f(tx) \mathrm{d}t = \frac{1}{x} \int_0^{+\infty} f(u) \mathrm{d}u
    L'intégrale converge par hypothèse, donc la série converge. Ainsi :
    g est bien deˊfinie sur ]0,+∞[\boxed{g \text{ est bien définie sur } ]0, +\infty[}

  2. Utilisons la décroissance de ff. Pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^* et tout t∈[n,n+1]t \in [n, n+1], on a f((n+1)x)≤f(tx)≤f(nx)f((n+1)x) \leq f(tx) \leq f(nx). Par intégration sur [n,n+1][n, n+1], il vient :
    f((n+1)x)≤∫nn+1f(tx)dt≤f(nx)f((n+1)x) \leq \int_n^{n+1} f(tx) \mathrm{d}t \leq f(nx)
    En sommant pour nn allant de 11 à NN, nous obtenons par relation de Chasles :
    ∑n=2N+1f(nx)≤∫1N+1f(tx)dt≤∑n=1Nf(nx)\sum_{n=2}^{N+1} f(nx) \leq \int_1^{N+1} f(tx) \mathrm{d}t \leq \sum_{n=1}^{N} f(nx)
    En faisant tendre NN vers +∞+\infty, la convergence étant assurée, nous avons :
    ∑n=2+∞f(nx)≤∫1+∞f(tx)dt≤∑n=1+∞f(nx)\sum_{n=2}^{+\infty} f(nx) \leq \int_1^{+\infty} f(tx) \mathrm{d}t \leq \sum_{n=1}^{+\infty} f(nx)
    Notons I=∫0+∞f(u)duI = \int_0^{+\infty} f(u) \mathrm{d}u. L'inégalité de droite donne :
    g(x)−f(0)≥∫1+∞f(tx)dt=1x∫x+∞f(u)dug(x) - f(0) \geq \int_1^{+\infty} f(tx) \mathrm{d}t = \frac{1}{x} \int_x^{+\infty} f(u) \mathrm{d}u
    L'inégalité de gauche donne, en rajoutant f(x)f(x) des deux côtés :
    g(x)−f(0)≤∫1+∞f(tx)dt+f(x)≤∫0+∞f(tx)dt=1xIg(x) - f(0) \leq \int_1^{+\infty} f(tx) \mathrm{d}t + f(x) \leq \int_0^{+\infty} f(tx) \mathrm{d}t = \frac{1}{x} I
    On en déduit l'encadrement suivant pour x(g(x)−f(0))x(g(x) - f(0)) :
    ∫x+∞f(u)du≤x(g(x)−f(0))≤I\int_x^{+\infty} f(u) \mathrm{d}u \leq x(g(x) - f(0)) \leq I
    Comme ff est intégrable, lim⁡x→0+∫x+∞f(u)du=I\lim_{x \to 0^+} \int_x^{+\infty} f(u) \mathrm{d}u = I. Par le théorème des gendarmes :
    lim⁡x→0+x(g(x)−f(0))=I\lim_{x \to 0^+} x(g(x) - f(0)) = I
    Comme lim⁡x→0+xf(0)=0\lim_{x \to 0^+} x f(0) = 0, on conclut :
    lim⁡x→0+xg(x)=∫0+∞f(t)dt\boxed{\lim_{x \to 0^+} x g(x) = \int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t}

  3. Si ff n'est pas identiquement nulle, son intégrale II sur [0,+∞[[0, +\infty[ est strictement positive car ff est continue, positive et décroissante. D'après la limite précédente, nous avons immédiatement l'équivalent :
    g(x)∼x→0+1x∫0+∞f(t)dt\boxed{g(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{1}{x} \int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{d}t}

Oubli du terme initial f(0) ou mauvaise gestion des bornes de l'intégrale.

Technique de comparaison série-intégrale pour obtenir un équivalent d'une somme de fonctions monotones.