1. Prolongement par continuité en 0 0 0
Soit x ≠ 0 x \neq 0 x = 0 t = x u t = xu t = xu d t = x d u \mathrm{d}t = x \mathrm{d}u d t = x d u
f n ( x ) = n ( n + 1 ) x n + 1 ∫ 0 1 ( x − x u ) n − 1 sin ( x u ) ⋅ x d u f_n(x) = \frac{n(n+1)}{x^{n+1}} \int_0^1 (x - xu)^{n-1} \sin(xu) \cdot x \mathrm{d}u f n ( x ) = x n + 1 n ( n + 1 ) ∫ 0 1 ( x − xu ) n − 1 sin ( xu ) ⋅ x d u En factorisant x x x
f n ( x ) = n ( n + 1 ) x ∫ 0 1 ( 1 − u ) n − 1 sin ( x u ) d u f_n(x) = \frac{n(n+1)}{x} \int_0^1 (1-u)^{n-1} \sin(xu) \mathrm{d}u f n ( x ) = x n ( n + 1 ) ∫ 0 1 ( 1 − u ) n − 1 sin ( xu ) d u Au voisinage de 0 0 0 sin ( x u ) = x u + O ( x 3 u 3 ) \sin(xu) = xu + O(x^3 u^3) sin ( xu ) = xu + O ( x 3 u 3 )
f n ( x ) = n ( n + 1 ) x ∫ 0 1 ( 1 − u ) n − 1 ( x u + O ( x 3 u 3 ) ) d u = n ( n + 1 ) ∫ 0 1 ( 1 − u ) n − 1 u d u + O ( x 2 ) f_n(x) = \frac{n(n+1)}{x} \int_0^1 (1-u)^{n-1} (xu + O(x^3u^3)) \mathrm{d}u = n(n+1) \int_0^1 (1-u)^{n-1} u \mathrm{d}u + O(x^2) f n ( x ) = x n ( n + 1 ) ∫ 0 1 ( 1 − u ) n − 1 ( xu + O ( x 3 u 3 )) d u = n ( n + 1 ) ∫ 0 1 ( 1 − u ) n − 1 u d u + O ( x 2 ) L'intégrale vaut 1 n ( n + 1 ) \frac{1}{n(n+1)} n ( n + 1 ) 1
lim x → 0 f n ( x ) = 1 \lim_{x \to 0} f_n(x) = 1 x → 0 lim f n ( x ) = 1
\boxed{ \text{On prolonge } f_n \text{ par } f_n(0) = 1. }
2. Convergence simple.
Repartons de f n ( x ) = n ( n + 1 ) x ∫ 0 1 ( 1 − u ) n − 1 sin ( x u ) d u f_n(x) = \frac{n(n+1)}{x} \int_0^1 (1-u)^{n-1} \sin(xu) \mathrm{d}u f n ( x ) = x n ( n + 1 ) ∫ 0 1 ( 1 − u ) n − 1 sin ( xu ) d u v ′ ( u ) = ( 1 − u ) n − 1 v'(u) = (1-u)^{n-1} v ′ ( u ) = ( 1 − u ) n − 1 w ( u ) = sin ( x u ) w(u) = \sin(xu) w ( u ) = sin ( xu )
∫ 0 1 ( 1 − u ) n − 1 sin ( x u ) d u = [ − ( 1 − u ) n n sin ( x u ) ] 0 1 + ∫ 0 1 ( 1 − u ) n n x cos ( x u ) d u \int_0^1 (1-u)^{n-1} \sin(xu) \mathrm{d}u = \left[ -\frac{(1-u)^n}{n} \sin(xu) \right]_0^1 + \int_0^1 \frac{(1-u)^n}{n} x \cos(xu) \mathrm{d}u ∫ 0 1 ( 1 − u ) n − 1 sin ( xu ) d u = [ − n ( 1 − u ) n sin ( xu ) ] 0 1 + ∫ 0 1 n ( 1 − u ) n x cos ( xu ) d u
Le terme entre crochets est nul. Réitérons l'IPP sur la nouvelle intégrale :
∫ 0 1 ( 1 − u ) n cos ( x u ) d u = [ − ( 1 − u ) n + 1 n + 1 cos ( x u ) ] 0 1 − ∫ 0 1 ( 1 − u ) n + 1 n + 1 x sin ( x u ) d u \int_0^1 (1-u)^n \cos(xu) \mathrm{d}u = \left[ -\frac{(1-u)^{n+1}}{n+1} \cos(xu) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{(1-u)^{n+1}}{n+1} x \sin(xu) \mathrm{d}u ∫ 0 1 ( 1 − u ) n cos ( xu ) d u = [ − n + 1 ( 1 − u ) n + 1 cos ( xu ) ] 0 1 − ∫ 0 1 n + 1 ( 1 − u ) n + 1 x sin ( xu ) d u = 1 n + 1 − x n + 1 ∫ 0 1 ( 1 − u ) n + 1 sin ( x u ) d u = \frac{1}{n+1} - \frac{x}{n+1} \int_0^1 (1-u)^{n+1} \sin(xu) \mathrm{d}u = n + 1 1 − n + 1 x ∫ 0 1 ( 1 − u ) n + 1 sin ( xu ) d u En réinjectant dans l'expression de f n ( x ) f_n(x) f n ( x )
f n ( x ) = n ( n + 1 ) x ( x n ( n + 1 ) − x 2 n ( n + 1 ) ∫ 0 1 ( 1 − u ) n + 1 sin ( x u ) d u ) f_n(x) = \frac{n(n+1)}{x} \left( \frac{x}{n(n+1)} - \frac{x^2}{n(n+1)} \int_0^1 (1-u)^{n+1} \sin(xu) \mathrm{d}u \right) f n ( x ) = x n ( n + 1 ) ( n ( n + 1 ) x − n ( n + 1 ) x 2 ∫ 0 1 ( 1 − u ) n + 1 sin ( xu ) d u ) f n ( x ) = 1 − x ∫ 0 1 ( 1 − u ) n + 1 sin ( x u ) d u \boxed{ f_n(x) = 1 - x \int_0^1 (1-u)^{n+1} \sin(xu) \mathrm{d}u } f n ( x ) = 1 − x ∫ 0 1 ( 1 − u ) n + 1 sin ( xu ) d u Comme ∣ sin ( x u ) ∣ ≤ 1 |\sin(xu)| \le 1 ∣ sin ( xu ) ∣ ≤ 1 ∫ 0 1 ( 1 − u ) n + 1 d u = 1 n + 2 \int_0^1 (1-u)^{n+1} \mathrm{d}u = \frac{1}{n+2} ∫ 0 1 ( 1 − u ) n + 1 d u = n + 2 1 x x x x ∫ 0 1 ( 1 − u ) n + 1 sin ( x u ) d u → 0 x \int_0^1 (1-u)^{n+1} \sin(xu) \mathrm{d}u \to 0 x ∫ 0 1 ( 1 − u ) n + 1 sin ( xu ) d u → 0 n → ∞ n \to \infty n → ∞
3. Convergence uniforme.
Soit A > 0 A > 0 A > 0 x ∈ [ − A , A ] x \in [-A, A] x ∈ [ − A , A ]
∣ f n ( x ) − 1 ∣ = ∣ x ∫ 0 1 ( 1 − u ) n + 1 sin ( x u ) d u ∣ ≤ A ∫ 0 1 ( 1 − u ) n + 1 ∣ sin ( x u ) ∣ d u |f_n(x) - 1| = \left| x \int_0^1 (1-u)^{n+1} \sin(xu) \mathrm{d}u \right| \le A \int_0^1 (1-u)^{n+1} |\sin(xu)| \mathrm{d}u ∣ f n ( x ) − 1∣ = x ∫ 0 1 ( 1 − u ) n + 1 sin ( xu ) d u ≤ A ∫ 0 1 ( 1 − u ) n + 1 ∣ sin ( xu ) ∣ d u
En utilisant
∣ sin ( x u ) ∣ ≤ ∣ x u ∣ ≤ A |\sin(xu)| \le |xu| \le A ∣ sin ( xu ) ∣ ≤ ∣ xu ∣ ≤ A , on a :
sup x ∈ [ − A , A ] ∣ f n ( x ) − 1 ∣ ≤ A 2 n + 2 \sup_{x \in [-A, A]} |f_n(x) - 1| \le \frac{A^2}{n+2} x ∈ [ − A , A ] sup ∣ f n ( x ) − 1∣ ≤ n + 2 A 2
Comme
A 2 n + 2 → n → ∞ 0 \frac{A^2}{n+2} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 n + 2 A 2 n → ∞ 0 :
\boxed{ (f_n) \text{ converge uniformément vers } 1 \text{ sur tout intervalle borné.} }