Équation fonctionnelle alternée

Soit $g : \mathbb{R}_{+}^* \to \mathbb{R}_+$ une fonction continue et décroissante telle que $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$ .

Montrer qu'il existe une unique fonction $f$ continue sur $\mathbb{R}_{+}^*$ telle que : $\forall x > 0, f(x+1) + f(x) = g(x) \text{et} \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
On suppose dans cette question que $g(x) = \frac{\lambda}{x^\alpha}$ $g (x) = \frac{λ}{x ^{α}}$ avec $\lambda > 0$ $λ > 0$ et $\alpha > 0$ $α > 0$ .
1. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}_{+}^*$ .
2. Déterminer un équivalent de $f(x)$ lorsque $x \to +\infty$ .
3. Déterminer un équivalent de $f(x)$ lorsque $x \to 0^+$ .
Montrer que si $g$ est définie sur $\mathbb{R}_+$ , il existe une unique fonction $f \in \mathcal{C}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}_+)$ satisfaisant $f(x) + f(x+1) = g(x)$ et possédant une limite finie en $+\infty$ .

1.

Pour l'existence, utiliser une série alternée $\sum (-1)^n g(x+n)$ .

2.

Pour l'unicité, considérer la différence de deux solutions et étudier son comportement à l'infini.

3.

Pour les équivalents : en $+\infty$ , remarquer que $f(x) \approx f(x+1)$ ; en $0$ , utiliser la relation de récurrence.

Idées clés

•

Critère spécial des séries alternées (CSSA) pour la convergence simple et uniforme.

•

Unicité par étude d'une suite géométrique de fonctions.

•

Théorèmes de régularité sous le signe somme.

1. Existence et Unicité.

Existence : Posons $u_n(x) = (-1)^n g(x+n)$ . Pour $x > 0$ fixé, la suite $(g(x+n))_{n \geq 0}$ est positive, décroissante et tend vers $0$ . D'après le critère spécial des séries alternées, la série $\sum u_n(x)$ converge. On définit :

f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n g(x+n)

La convergence est uniforme sur tout intervalle $[a, +\infty[$ ( $a>0$ ) car le reste d'une telle série est majoré par le premier terme négligé :

|R_N(x)| = \left| \sum_{n=N+1}^{+\infty} (-1)^n g(x+n) \right| \leq g(x+N+1) \leq g(N+1)

Comme

g(N+1) \to 0

,

f

est continue sur

\mathbb{R}_+^*

et

\lim_{+\infty} f = 0

. On vérifie l'équation :

f(x) + f(x+1) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n g(x+n) + \sum_{n=0}^\infty (-1)^n g(x+1+n) = g(x)

Unicité : Si $f_1, f_2$ conviennent, $h = f_1 - f_2$ vérifie $h(x+1) = -h(x)$ et $h \to 0$ . On a $h(x+n) = (-1)^n h(x)$ . En passant à la limite $n \to +\infty$ à $x$ fixé, on a $0 = h(x)$ , donc $f_1 = f_2$ .

2. Cas $g(x) = \lambda x^{-\alpha$ $g (x) = λ x^{- α}$ .}

Pour tout $k \in \mathbb{N}$ , $g^{(k)}(x) = \lambda \frac{(-1)^k \alpha (\alpha+1)\dots(\alpha+k-1)}{x^{\alpha+k}}$ . La série des dérivées $\sum (-1)^n g^{(k)}(x+n)$ est encore une série alternée vérifiant le CSSA. Elle converge uniformément sur tout $[a, +\infty[$ . Par théorème de dérivation des séries de fonctions, $f$ est $\mathcal{C}^\infty$ .
En $+\infty$ , on a $f(x) + f(x+1) = g(x)$ . Comme $f$ décroît vers $0$ (propriété des séries alternées), on peut s'attendre à $f(x) \sim f(x+1)$ . Alors $2f(x) \sim g(x)$ , soit : $\boxed{ f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{\lambda}{2x^\alpha} }$
En $0$ , $g(x) = \lambda/x^\alpha \to +\infty$ . L'équation $f(x) = g(x) - f(x+1)$ montre que $f(x)$ est dominé par $g(x)$ car $f(x+1) \to f(1)$ qui est fini. $\boxed{ f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{\lambda}{x^\alpha} }$

3. Cas sur $\mathbb{R$ _+ $R_{+}$ .}

Si $g$ est définie et continue sur $[0, +\infty[$ , la construction $f(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n g(x+n)$ reste valable et $f$ est continue sur $[0, +\infty[$ . De plus, d'après les propriétés du CSSA, la somme $f(x)$ est toujours comprise entre $g(x) - g(x+1)$ et $g(x)$ . Comme $g \geq 0$ est décroissante, $g(x) \geq g(x+1)$ , donc $f(x) \geq 0$ . L'unicité de la solution ayant une limite finie se démontre comme en question 1.

L'unicité nécessite une condition de limite en l'infini.

L'équation f(x+1)+f(x)=g(x) se traite par série alternée.