Prolongement de la fonction Zêta de Riemann

Soit $s \in \mathbb{C}$ . On définit, lorsque la série converge, la fonction :

\zeta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}

Déterminer le domaine de définition $\Omega_1 \subset \mathbb{C}$ de la fonction $\zeta$ . Montrer que $\zeta$ est continue sur cet ensemble.
Pour $s \in \mathbb{C}$ tel que $\text{Re}(s) > 0$ , on introduit la série alternée : $\eta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}$ Montrer que pour tout $s \in \Omega_1$ , on a la relation : $\eta(s) = \left( 1 - 2^{1-s} \right) \zeta(s)$
Justifier que $\eta$ est définie et continue sur l'ensemble $\Omega_0 = \{s \in \mathbb{C} \mid \text{Re}(s) > 0\}$ .
En déduire que la fonction $\zeta$ admet un prolongement continu sur $\Omega_0 \setminus \{1\}$ .

1.

Pour la continuité sur $\mathbb{C}$ , utiliser la convergence normale sur des demi-plans du type $\text{Re}(s) \geq a > 1$ .

2.

Pour la relation entre $\eta$ et $\zeta$ , séparer les termes pairs et impairs en utilisant l'absolue convergence.

3.

Pour la continuité de $\eta$ , on pourra utiliser une majoration du reste par le critère des séries alternées si $s$ est réel, mais pour $s$ complexe, il est préférable d'étudier la série des différences $u_p(s) = \frac{1}{(2p-1)^s} - \frac{1}{(2p)^s}$ et d'utiliser l'inégalité des accroissements finis.

Idées clés

•

Convergence absolue des séries de Riemann généralisées.

•

Réorganisation de sommes absolument convergentes (sommabilité).

•

Prolongement par continuité via une fonction auxiliaire.

Résolution.

Soit $s = \sigma + it$ avec $\sigma, t \in \mathbb{R}$ . On a : $\left| \frac{1}{n^s} \right| = \frac{1}{n^\sigma}$ La série converge absolument si et seulement si $\sigma > 1$ . Ainsi : $\boxed{\Omega_1 = \{ s \in \mathbb{C} \mid \text{Re}(s) > 1 \}}$ Pour la continuité, soit $a > 1$ . Pour tout $s$ tel que $\text{Re}(s) \geq a$ , on a $|1/n^s| \leq 1/n^a$ . Comme la série de Riemann $\sum 1/n^a$ converge, la série de fonctions $\sum n^{-s}$ converge normalement (donc uniformément) sur tout demi-plan fermé inclus dans $\Omega_1$ . Chaque terme $s \mapsto n^{-s} = e^{-s \ln n}$ étant continu sur $\mathbb{C}$ , $\zeta$ est continue sur $\Omega_1$ .
Soit $s \in \Omega_1$ . La série définissant $\zeta(s)$ est absolument convergente. On peut donc séparer les termes pairs et impairs : $\zeta(s) = \sum_{p=1}^{+\infty} \frac{1}{(2p-1)^s} + \sum_{p=1}^{+\infty} \frac{1}{(2p)^s}$ Or, on remarque que : $\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{1}{(2p)^s} = \frac{1}{2^s} \sum_{p=1}^{+\infty} \frac{1}{p^s} = 2^{-s} \zeta(s)$ En exprimant $\eta(s)$ de la même façon : $\eta(s) = \sum_{p=1}^{+\infty} \frac{1}{(2p-1)^s} - \sum_{p=1}^{+\infty} \frac{1}{(2p)^s}$ En remplaçant la première somme par $\zeta(s) - 2^{-s} \zeta(s)$ , il vient : $\eta(s) = \left( \zeta(s) - 2^{-s} \zeta(s) \right) - 2^{-s} \zeta(s) = \zeta(s) \left( 1 - 2 \cdot 2^{-s} \right)$ $\boxed{\eta(s) = \zeta(s) \left( 1 - 2^{1-s} \right)}$
Posons $v_p(s) = \frac{1}{(2p-1)^s} - \frac{1}{(2p)^s}$ . Pour $s \in \mathbb{C}$ fixé, considérons $f(t) = t^{-s}$ sur $[2p-1, 2p]$ . D'après l'inégalité des accroissements finis : $|v_p(s)| \leq \sup_{t \in [2p-1, 2p]} |f'(t)| = |s| \sup_{t \in [2p-1, 2p]} |t^{-s-1}| = |s| (2p-1)^{-\text{Re}(s)-1}$ Pour tout $K \subset \Omega_0$ compact, il existe $\alpha > 0$ et $R > 0$ tels que $\forall s \in K, \text{Re}(s) \geq \alpha$ et $|s| \leq R$ . Alors : $|v_p(s)| \leq \frac{R}{(2p-1)^{\alpha+1}}$ Le terme de droite est le terme général d'une série convergente ( $\alpha+1 > 1$ ). La série $\sum v_p(s)$ converge donc normalement sur tout compact de $\Omega_0$ . Par théorème de continuité des séries de fonctions, $\eta$ est continue sur $\Omega_0$ .
Pour $s \in \Omega_1$ , on a $\zeta(s) = \frac{\eta(s)}{1 - 2^{1-s}}$ . Le dénominateur s'annule si $2^{1-s} = 1$ , soit $1-s = \frac{2ik\pi}{\ln 2}$ pour $k \in \mathbb{Z}$ . Le seul point d'annulation sur la droite $\text{Re}(s)=1$ est $s=1$ (pour $k=0$ ). Puisque $\eta$ est continue sur $\Omega_0$ et que $s \mapsto 1-2^{1-s}$ est continue et ne s'annule pas sur $\Omega_0 \setminus \{1\}$ , $\zeta$ se prolonge continûment sur cet ensemble.

Ne pas utiliser le critère des séries alternées sur des termes complexes.

Relation $\eta(s) = (1-2^{1-s})\zeta(s)$ pour le prolongement.