Série trigonométrique et transformation de somme

Soit la série de fonctions $\sum_{n \geq 1} f_n$ où $f_n$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :

f_n(x) = \frac{\sin(nx) \sin(n^2x)}{n}

1. Déterminer le domaine de convergence simple de la série.

2. La série converge-t-elle normalement sur $\mathbb{R}$ ?

3. En utilisant une formule de transformation de produit de sinus en somme, démontrer que la série converge uniformément sur $\mathbb{R}$ .

1.

Utiliser $2\sin(A)\sin(B) = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ pour transformer le terme général.

2.

Pour la convergence normale, regarder la valeur de $f_n(x)$ pour $x$ tel que les deux sinus valent 1 (si possible).

3.

Pour la convergence uniforme, réorganiser la somme obtenue après transformation pour faire apparaître des termes quasi-télescopiques.

Idées clés

•

Transformation d'Abel ou réorganisation de sommes.

•

Convergence normale vs convergence uniforme.

•

Majoration de restes de séries quasi-télescopiques.

1. Convergence simple.

En utilisant la formule de trigonométrie $2\sin(A)\sin(B) = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ , on a :

f_n(x) = \frac{\cos(n(n-1)x) - \cos(n(n+1)x)}{2n}

Soit $S_N(x) = \sum_{n=1}^N f_n(x)$ . On peut écrire :

2S_N(x) = \sum_{n=1}^N \frac{\cos(n(n-1)x)}{n} - \sum_{n=1}^N \frac{\cos(n(n+1)x)}{n}

Par un décalage d'indice dans la seconde somme ( $k=n+1$ ), on observe une structure proche d'une série téléscopique. Le calcul de la question 3 montrera que cette somme converge pour tout $x$ .

\boxed{\text{La série converge simplement sur } \mathbb{R}.}

2. Convergence normale.

On sait que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $|f_n(x)| \leq \frac{1}{n}$ . De plus, il est possible de choisir $x$ tel que $|\sin(nx) \sin(n^2x)|$ soit proche de 1. Par exemple, pour $n$ de la forme $4k+1$ , en choisissant $x = \frac{\pi}{2n}$ , on a $\sin(nx) = 1$ et $n^2x = n \frac{\pi}{2} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ , donc $\sin(n^2x) = 1$ . Ainsi, $\|f_n\|_{\infty} \geq \frac{1}{n}$ pour une infinité de $n$ .

Puisque la série $\sum \frac{1}{n}$ diverge :

\boxed{\text{La série ne converge pas normalement sur } \mathbb{R}.}

3. Convergence uniforme.

Reprenons l'expression de la somme partielle :

2S_N(x) = \frac{\cos(0)}{1} - \frac{\cos(2x)}{1} + \frac{\cos(2x)}{2} - \frac{\cos(6x)}{2} + \dots + \frac{\cos(N(N-1)x)}{N} - \frac{\cos(N(N+1)x)}{N}

En regroupant les termes en $\cos(k(k+1)x)$ , on obtient :

2S_N(x) = 1 + \sum_{k=1}^{N-1} \cos(k(k+1)x) \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k} \right) - \frac{\cos(N(N+1)x)}{N}

Soit $g_k(x) = \cos(k(k+1)x) \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k} \right)$ . On a $\|g_k\|_{\infty} \leq |\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k}| = \frac{1}{k(k+1)}$ . La série $\sum g_k$ converge donc normalement (et donc uniformément) sur $\mathbb{R}$ .

Le terme $\frac{\cos(N(N+1)x)}{N}$ converge uniformément vers 0 sur $\mathbb{R}$ car son module est majoré par $1/N$ .

Comme somme de deux termes convergeant uniformément (une série normalement convergente et une suite tendant uniformément vers 0) :

\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ converge uniformément sur } \mathbb{R}.}

Vouloir utiliser la CVN alors que seule la CVU est vraie.

La transformation de produit en somme permet souvent de faire apparaître des structures téléscopiques.