Convergence d'une série log-exponentielle

Soit la suite de fonctions $(f_n)_{n \geq 2}$ définies sur $\mathbb{R}_+$ par :

f_n(x) = \frac{\sin(x) e^{-nx}}{\ln(n)}

Étudier la convergence simple, la convergence normale et la convergence uniforme de la série de fonctions $\sum f_n$ sur l'intervalle $[0, +\infty[$ .

1.

Pour la convergence simple, distinguer le cas $x=0$ et le cas $x>0$ en utilisant des comparaisons avec des séries de Riemann.

2.

Pour la convergence normale, minorer la norme infinie en évaluant $f_n$ en un point bien choisi (par exemple $x=1/n$ ) et utiliser les séries de Bertrand.

3.

Pour la convergence uniforme, majorer le reste $R_n(x)$ en utilisant une somme géométrique et étudier la borne supérieure de la fonction résultante.

Idées clés

•

Découpage du domaine pour la convergence simple.

•

Utilisation des séries de Bertrand pour infirmer la convergence normale.

•

Majoration uniforme du reste par une suite tendant vers 0.

1. Convergence simple.

Soit $x \in \mathbb{R}_+$ .

Si $x = 0$ , pour tout $n \geq 2$ , $f_n(0) = 0$ . La série $\sum f_n(0)$ converge et sa somme est nulle.

Si $x > 0$ , on a l'équivalence au voisinage de l'infini :

n^2 |f_n(x)| = \frac{|\sin(x)| n^2 e^{-nx}}{\ln(n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

par croissance comparée, puisque

e^{-nx}

décroît exponentiellement vers 0.

Ainsi, $|f_n(x)| = o(1/n^2)$ . Par comparaison avec une série de Riemann convergente, la série $\sum f_n(x)$ est absolument convergente.

\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ converge simplement sur } \mathbb{R}_+.}

2. Convergence normale.

Les fonctions $f_n$ sont continues sur $\mathbb{R}_+$ et tendent vers 0 en $+\infty$ , elles sont donc bornées. Étudions la norme infinie $\|f_n\|_{\infty} = \sup_{x \geq 0} |f_n(x)|$ .

Pour $n$ assez grand, le point $x_n = \frac{1}{n}$ appartient à $[0, +\infty[$ . On a :

|f_n(x_n)| = \frac{\sin(1/n) e^{-1}}{\ln(n)}

En utilisant l'équivalent $\sin(h) \sim h$ en 0, on obtient :

|f_n(1/n)| \sim \frac{1}{en\ln(n)}

La série de terme général $\frac{1}{n\ln(n)}$ est une série de Bertrand divergente ( $\alpha=1, \beta=1$ ). Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum \|f_n\|_{\infty}$ diverge.

\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ ne converge pas normalement sur } \mathbb{R}_+.}

3. Convergence uniforme.

Soit $x > 0$ . Notons $R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} f_k(x)$ le reste de rang $n$ . On a :

|R_n(x)| \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{|\sin(x)| e^{-kx}}{\ln(k)}

Comme la suite $(\ln(k))$ est croissante, on peut majorer par :

|R_n(x)| \leq \frac{|\sin(x)|}{\ln(n+1)} \sum_{k=n+1}^{+\infty} (e^{-x})^k

En utilisant la formule de la somme d'une série géométrique de raison $e^{-x} \in ]0, 1[$ :

|R_n(x)| \leq \frac{|\sin(x)|}{\ln(n+1)} \frac{e^{-(n+1)x}}{1-e^{-x}} \leq \frac{1}{\ln(n+1)} \frac{|\sin(x)| e^{-x}}{1-e^{-x}}

Posons $g(x) = \frac{\sin(x) e^{-x}}{1-e^{-x}}$ pour $x > 0$ . Au voisinage de $0^+$ , $g(x) \sim \frac{x}{x} = 1$ . La fonction $g$ est donc prolongeable par continuité en 0. De plus, $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$ . $g$ est donc bornée sur $]0, +\infty[$ . Soit $M = \sup_{x > 0} |g(x)|$ .

On en déduit que pour tout $x \geq 0$ :

|R_n(x)| \leq \frac{M}{\ln(n+1)}

Comme ce majorant est indépendant de $x$ et tend vers 0 quand $n \to +\infty$ :

\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ converge uniformément sur } \mathbb{R}_+.}

Ne pas conclure que l'absence de CVN implique l'absence de CVU.

Majoration du reste par une suite indépendante de x.