Équations fonctionnelles et principe du maximum

Résolution.

1. Soit $f$ une solution continue sur $[0, 1]$. On remarque immédiatement que les fonctions constantes sont solutions car $\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} = 1$. Soit $b \in [0, 1[$. La fonction $f$ est continue sur le segment $[0, b]$, elle y est donc bornée et atteint ses bornes. Soit $M_b = \max_{x \in [0, b]} f(x)$ et $x_b \in [0, b]$ un point tel que $f(x_b) = M_b$. D'après l'énoncé, nous avons :
   $$f(x_b) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{f(x_b^n)}{2^n}$$
   Puisque pour tout $n \geq 1$, $x_b^n \in [0, b]$ (car $x_b \in [0, 1[$), on a $f(x_b^n) \leq M_b = f(x_b)$. Ainsi, on a une égalité entre une valeur et une moyenne pondérée de valeurs qui lui sont inférieures ou égales :
   $$f(x_b) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{f(x_b^n)}{2^n} \leq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{M_b}{2^n} = M_b$$
   L'égalité ne peut être vérifiée que si, pour tout $n \geq 1$, $f(x_b^n) = M_b$. En faisant tendre $n$ vers $+\infty$, on a $x_b^n \to 0$. Par continuité de $f$ en $0$, on en déduit :
   $$\boxed{ f(x_b) = f(0) }$$
   Ceci étant vrai pour tout $x_b$ réalisant le maximum sur $[0, b]$, on en déduit que $M_b = f(0)$. Par un raisonnement identique sur le minimum, on montre que $\min_{[0, b]} f = f(0)$. Par conséquent, $f$ est constante sur $[0, b]$ pour tout $b < 1$. Par continuité en $1$, $f$ est constante sur $[0, 1]$.
   $$\boxed{ \text{Les solutions sont les fonctions constantes.} }$$

2. Soit $f$ une solution. Pour $x=1$, l'équation donne $f(1) = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} f(u_n + 1 - 1) = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} f(1) = f(1)$, ce qui est toujours vrai. Pour $x=0$, l'équation donne :
   $$f(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{f(1)}{2^n} = f(1) \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n} = f(1)$$
   Ainsi, toute solution vérifie nécessairement $f(0) = f(1)$. Soit $M = \max_{x \in [0, 1]} f(x)$ et $m = \min_{x \in [0, 1]} f(x)$. Soit $A = \{ x \in [0, 1] \mid f(x) = M \}$. $A$ est un fermé non vide de $[0, 1]$. Soit $x_0 \in A$. On a :
   $$M = f(x_0) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{f(u_n x_0 + 1 - x_0)}{2^n}$$
   Comme précédemment, le fait que $f \leq M$ impose que pour tout $n \geq 1$ :
   $$f(u_n x_0 + 1 - x_0) = M$$
   L'argument $v_n = u_n x_0 + 1 - x_0$ appartient donc à $A$. Or, quand $n \to +\infty$, $u_n \to 1$, donc :
   $$v_n \to 1 \cdot x_0 + 1 - x_0 = 1$$
   Par continuité de $f$ (ou car $A$ est fermé), on en déduit que $1 \in A$, soit $f(1) = M$. En appliquant le même raisonnement à la fonction $-f$ (ou au minimum), on montre que $f(1) = m$. D'où $M = m$, ce qui prouve que $f$ est constante. Réciproquement, toute fonction constante est clairement solution.
   $$\boxed{ \text{Les solutions sont les fonctions constantes.} }$$