Propriétés des fonctions zêta et êta

Résolution.

1. Domaines de définition. Pour la fonction $\zeta$, il s'agit d'une série de Riemann. La série $\sum n^{-s}$ converge si et seulement si $s > 1$. Ainsi :
   $$\boxed{D_\zeta = ]1, +\infty[}$$
   Pour la fonction $\eta$, si $s \leq 0$, le terme général ne tend pas vers 0, donc la série diverge. Si $s > 0$, la suite $(1/n^s)_{n \geq 1}$ est positive, décroissante et tend vers 0. D'après le critère spécial des séries alternées (CSSA), la série converge. Ainsi :
   $$\boxed{D_\eta = ]0, +\infty[}$$

2. Étude de la continuité. Soit $s \in D_\zeta$. Pour tout $a > 1$, si $s \in [a, +\infty[$, on a :
   $$\left| \frac{1}{n^s} \right| \leq \frac{1}{n^a}$$
   Comme la série $\sum n^{-a}$ converge, la série de fonctions $\sum n^{-s}$ converge normalement, donc uniformément, sur tout intervalle $[a, +\infty[$ avec $a > 1$. Chaque terme $s \mapsto n^{-s}$ étant continu sur $\mathbb{R}$, par théorème de continuité des séries de fonctions, $\zeta$ est continue sur tout $[a, +\infty[$, donc sur $]1, +\infty[$. Pour $\eta$, le CSSA fournit une majoration du reste : pour tout $s > 0$, $|R_n(s)| \leq \frac{1}{(n+1)^s}$. Soit $a > 0$. Pour tout $s \in [a, +\infty[$, on a :
   $$|R_n(s)| \leq \frac{1}{(n+1)^a}$$
   Le membre de droite est indépendant de $s$ et tend vers 0 quand $n \to +\infty$. La série $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}$ converge donc uniformément sur $[a, +\infty[$. Par continuité des termes généraux, $\eta$ est continue sur tout $[a, +\infty[$ avec $a > 0$, donc sur $]0, +\infty[$.

3. Calcul et relation fonctionnelle. (a) On a $\eta(1) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$. Pour $N \geq 1$, notons $S_N$ la somme partielle :
   $$S_N = \sum_{n=1}^{N} \int_0^1 (-t)^{n-1} dt = \int_0^1 \frac{1 - (-t)^N}{1+t} dt$$
   On calcule la limite :
   $$S_N = \int_0^1 \frac{1}{1+t} dt - \int_0^1 \frac{(-t)^N}{1+t} dt$$
   Le second terme tend vers 0 par convergence dominée (ou majoration simple par $1/(N+1)$).
   $$\eta(1) = \int_0^1 \frac{1}{1+t} dt = \boxed{\ln 2}$$
   (b) Pour $s > 1$, les séries convergent absolument. On peut séparer les indices pairs ($n=2k$) et impairs ($n=2k-1$) :
   $$\zeta(s) + \eta(s) = \sum_{n \text{ impair}} \frac{2}{n^s}   \text{et}   \zeta(s) - \eta(s) = \sum_{n \text{ pair}} \frac{2}{n^s}$$
   Exploitons la seconde égalité :
   $$\zeta(s) - \eta(s) = 2 \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(2k)^s} = \frac{2}{2^s} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^s} = 2^{1-s} \zeta(s)$$
   On en déduit immédiatement :
   $$\boxed{\eta(s) = (1 - 2^{1-s}) \zeta(s)}$$

4. Équivalent en $1^+$. (a) La fonction $t \mapsto t^{-s}$ est décroissante sur $[1, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale :
   $$\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^s} \leq \zeta(s) \leq 1 + \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^s}$$
   Or $\int_1^{+\infty} t^{-s} dt = \left[ \frac{t^{1-s}}{1-s} \right]_1^{+\infty} = \frac{1}{s-1}$ car $s > 1$. D'où :
   $$\frac{1}{s-1} \leq \zeta(s) \leq 1 + \frac{1}{s-1}$$
   En multipliant par $(s-1)$, on obtient par encadrement la limite 1. Ainsi :
   $$\boxed{\zeta(s) \underset{s \to 1^+}{\sim} \frac{1}{s-1}}$$
   (b) D'après la question 3.(b), $\zeta(s) = \frac{\eta(s)}{1 - 2^{1-s}}$. Comme $\eta$ est continue en 1, $\lim_{s \to 1^+} \eta(s) = \eta(1) = \ln 2$. Pour le dénominateur, posons $h = s-1 \to 0^+$.
   $$1 - 2^{-h} = 1 - e^{-h \ln 2} = 1 - (1 - h \ln 2 + o(h)) = h \ln 2 + o(h)$$
   On a donc $1 - 2^{1-s} \sim (s-1) \ln 2$. En reportant :
   $$\zeta(s) \sim \frac{\ln 2}{(s-1) \ln 2} = \frac{1}{s-1}$$