Suite récurrente et sommation télescopique

Résolution.

1. Soit $\phi(t) = \ln(\frac{e^t-1}{t})$ pour $t>0$. Par le théorème des accroissements finis, il existe $c \in ]0, t[$ tel que $\frac{e^t-e^0}{t-0} = e^c$. Comme $0 < c < t$, on a $1 < e^c < e^t$, d'où $1 < \frac{e^t-1}{t} < e^t$. En appliquant le logarithme (croissant) :
   $$\boxed{0 < f_{n+1}(x) < f_n(x)}$$
   Par récurrence, si $f_n(x) > 0$, alors $f_{n+1}(x)$ est bien défini et strictement positif. Comme $f_0(x) = x > 0$, la suite est bien définie, positive et strictement décroissante.

2. Pour $x > 0$ fixé, $(f_n(x))$ est décroissante et minorée par 0, donc elle converge vers une limite $\ell \geq 0$. Par continuité de $\phi$ sur $\mathbb{R}_+^*$, si $\ell > 0$, on aurait $\ell = \ln(\frac{e^\ell-1}{\ell})$, ce qui équivaut à $e^\ell = \frac{e^\ell-1}{\ell}$. Or d'après la question précédente, $\frac{e^\ell-1}{\ell} < e^\ell$ pour tout $\ell > 0$. La seule limite possible est donc :
   $$\boxed{\forall x > 0,   \lim_{n \to +\infty} f_n(x) = 0}$$

3. Soit $x > 0$. On a $u_n(x) > 0$ et :
   $$\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)} = \frac{\prod_{k=0}^{n+1} f_k(x)}{\prod_{k=0}^n f_k(x)} = f_{n+1}(x)$$
   D'après la question 2, $f_{n+1}(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. Comme $0 < 1$, la règle de d'Alembert assure que :
   $$\boxed{\text{La série } \sum u_n(x) \text{ converge pour tout } x > 0.}$$

4. D'après la définition de $f_{n+1}$, on a $e^{f_{n+1}} = \frac{e^{f_n}-1}{f_n}$, soit $f_n e^{f_{n+1}} = e^{f_n} - 1$. Multiplions cette égalité par $u_{n-1} = \frac{u_n}{f_n}$ pour $n \geq 1$ :
   $$u_n e^{f_{n+1}} = u_{n-1} (e^{f_n} - 1) = u_{n-1} e^{f_n} - u_{n-1}$$
   On obtient la relation de télescopage : $u_{n-1} = u_{n-1} e^{f_n} - u_n e^{f_{n+1}}$. Sommons de $k=1$ à $n$ :
   $$\sum_{k=1}^n u_{k-1} = \sum_{k=1}^n (u_{k-1} e^{f_k} - u_k e^{f_{k+1}}) = u_0 e^{f_1} - u_n e^{f_{n+1}}$$
   À la limite $n \to +\infty$, comme $\sum u_k$ converge, $u_n \to 0$. De plus $e^{f_{n+1}} \to e^0 = 1$. Ainsi $\sum_{k=0}^{+\infty} u_k = u_0 e^{f_1}$. Comme $u_0 = x$ et $e^{f_1} = \frac{e^x-1}{x}$, on trouve :
   $$\boxed{S(x) = e^x - 1}$$