Fonction nombre de diviseurs et séries de Dirichlet

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on note $d(n)$ le nombre de diviseurs positifs de $n$ . Pour $s \in \mathbb{R}$ , on définit :

\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{s}}   \text{et}   f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{d(n)}{n^{s}}

Déterminer l'abscisse de convergence $s_0 = \inf \{s \in \mathbb{R} \mid f(s) < +\infty\}$ .
Établir une relation simple entre $f(s)$ et $\zeta(s)$ pour $s > s_0$ .
Déterminer un équivalent de $f(s)$ lorsque $s \to s_0^+$ .
Soit $g : \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ une fonction continue telle que $\lim_{t \to +\infty} e^t g(t) = \ell \in \mathbb{R}$ . Pour $\eta > 0$ , on définit l'opérateur : $L_{\eta}(g) = \eta^{2} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{d(n)}{n} g(\eta \ln n)$ Montrer que pour $g : t \mapsto e^{-at}$ avec $a > 0$ , on a $\lim_{\eta \to 0} L_{\eta}(g) = \int_{0}^{+\infty} t g(t) dt$ .
En déduire que ce résultat reste vrai pour toute fonction $g$ vérifiant les hypothèses.

1.

Pour $s_0$ , utiliser l'encadrement classique $1 \leq d(n) \leq n$ .

2.

Pour la question 2, utiliser le produit de convolution de Dirichlet.

3.

Pour la question 3, utiliser l'équivalent de $\zeta(s)$ en $1^+$ .

4.

Pour la question 4, injecter $g$ dans la somme et faire apparaître $f(1 + a\eta)$ .

5.

Pour la question 5, utiliser un argument de densité (théorème de Stone-Weierstrass ou approximation par des combinaisons d'exponentielles).

Idées clés

•

$d(n) = (1 * 1)(n)$ (convolution de Dirichlet)

•

$\zeta(s) \sim \frac{1}{s-1}$ au voisinage de 1

•

Théorème de convergence pour les sommes de Dirichlet

Résolution.

Pour tout $n \geq 1$ , on a $1 \leq d(n) \leq n$ . Si $s > 1$ , $d(n) = o(n^\epsilon)$ pour tout $\epsilon > 0$ , donc la série converge pour tout $s > 1$ . Si $s \leq 1$ , le terme général ne tend pas vers 0 car $d(n) \geq 1$ . Ainsi, l'abscisse de convergence est : $\boxed{s_0 = 1}$
Le nombre de diviseurs est défini par $d(n) = \sum_{d|n} 1$ . C'est le produit de convolution de Dirichlet de la suite constante $1$ avec elle-même. On sait que la série de Dirichlet d'un produit de convolution est le produit des séries de Dirichlet. Donc pour $s > 1$ : $f(s) = \left( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s} \right) \left( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s} \right)$ D'où : $\boxed{ f(s) = \zeta(s)^2 }$
On sait que $\zeta(s) \sim \frac{1}{s-1}$ quand $s \to 1^+$ . Par élévation au carré : $\boxed{ f(s) \underset{s \to 1^+}{\sim} \frac{1}{(s-1)^2} }$
Soit $g(t) = e^{-at}$ avec $a > 0$ . On calcule $L_\eta(g)$ : $L_\eta(g) = \eta^2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{d(n)}{n} e^{-a \eta \ln n} = \eta^2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{d(n)}{n^{1+a\eta}} = \eta^2 f(1+a\eta)$ D'après l'équivalent trouvé en question 3, quand $\eta \to 0$ : $f(1+a\eta) \sim \frac{1}{(a\eta)^2} = \frac{1}{a^2 \eta^2}$ Donc $L_\eta(g) \to \frac{1}{a^2}$ . Par ailleurs, par intégration par parties : $\int_0^{+\infty} t e^{-at} dt = \left[ -\frac{t e^{-at}}{a} \right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} \frac{e^{-at}}{a} dt = 0 + \left[ -\frac{e^{-at}}{a^2} \right]_0^{+\infty} = \frac{1}{a^2}$ On a bien : $\boxed{ \lim_{\eta \to 0} L_\eta(g) = \int_0^{+\infty} t g(t) dt }$
Pour une fonction $g$ quelconque vérifiant les hypothèses, on peut approcher $g$ par des combinaisons linéaires de fonctions de la forme $e^{-at}$ (densité des polynômes en $e^{-t}$ par Stone-Weierstrass sur un compact après changement de variable). La linéarité de $L_\eta$ et de l'intégrale permet de conclure.

Confusion sur l'abscisse de convergence.

La série de la fonction diviseur est le carré de la fonction zêta.