Fonction de von Mangoldt et distribution des premiers

Soit $\Lambda: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction de von Mangoldt définie par $\Lambda(n)=\ln (p)$ si $n=p^{k}$ avec $p$ premier et $k \in \mathbb{N}^{*}$ , et $\Lambda(n)=0$ sinon. On note $\mathcal{P}$ l'ensemble des nombres premiers.

Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on a l'égalité : $\sum_{d \mid n} \Lambda(d)=\ln (n)$
Soit $s > 1$ . Justifier la convergence des séries suivantes et établir la relation : $\left(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^{s}}\right)\left(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{s}}\right)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln (n)}{n^{s}}$
En utilisant la fonction zêta de Riemann $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} n^{-s}$ , montrer que pour $s \to 1^+$ : $\sum_{p \in \mathcal{P}} \frac{\ln (p)}{p^{s}} = \frac{1}{s-1} + O(1)$
En déduire le comportement asymptotique suivant au voisinage de $1^+$ : $\sum_{p \in \mathcal{P}} \frac{1}{p^{s}} = \ln \left(\frac{1}{s-1}\right) + O(1)$ Que peut-on en conclure concernant l'ensemble $\mathcal{P}$ ?

1.

Pour la question 1, utiliser la décomposition en facteurs premiers de $n$ et sommer sur les puissances de chaque nombre premier.

2.

Pour la question 2, reconnaître un produit de Cauchy de séries de Dirichlet.

3.

Pour la question 3, exprimer $\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$ à l'aide de $\Lambda(n)$ et utiliser un développement limité de $\zeta$ en $1$ .

4.

Pour la question 4, procéder par intégration de la relation précédente ou comparer la somme sur les premiers avec le logarithme de la série zêta.

Idées clés

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Produit de convolution de Dirichlet

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Lien entre fonction $\zeta$ et nombres premiers (Produit eulérien)

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Comportement de $\zeta(s)$ en $s=1$

Résolution.

Soit $n = \prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i}$ la décomposition en facteurs premiers de $n \in \mathbb{N}^*$ . Les diviseurs $d$ de $n$ pour lesquels $\Lambda(d) \neq 0$ sont exactement les puissances de nombres premiers $p_i^k$ avec $1 \leq k \leq \alpha_i$ pour $i \in \{1, \dots, r\}$ . On a alors : $\sum_{d \mid n} \Lambda(d) = \sum_{i=1}^r \sum_{k=1}^{\alpha_i} \Lambda(p_i^k) = \sum_{i=1}^r \sum_{k=1}^{\alpha_i} \ln(p_i)$ D'où : $\sum_{d \mid n} \Lambda(d) = \sum_{i=1}^r \alpha_i \ln(p_i) = \ln\left( \prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i} \right)$ On obtient bien : $\boxed{\sum_{d \mid n} \Lambda(d) = \ln(n)}$
Pour $s > 1$ , la série $\sum n^{-s}$ converge. Comme $\Lambda(n) \leq \ln(n)$ et $\ln(n) = o(n^\epsilon)$ , la série de Dirichlet $\sum \Lambda(n) n^{-s}$ converge absolument pour $s > 1$ . Le produit de deux séries de Dirichlet $\left(\sum a_n n^{-s}\right)\left(\sum b_n n^{-s}\right)$ est égal à $\sum c_n n^{-s}$ où $c_n = \sum_{d|n} a_d b_{n/d}$ . Ici, avec $a_n = \Lambda(n)$ et $b_n = 1$ , on a $c_n = \sum_{d|n} \Lambda(d) = \ln(n)$ d'après la question 1. On en déduit : $\boxed{ \left(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^{s}}\right) \zeta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln(n)}{n^s} }$
On sait que $\zeta'(s) = - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\ln n}{n^s}$ . La relation précédente s'écrit donc : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s} = - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$ Or, au voisinage de $s=1$ , on a $\zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \gamma + O(s-1)$ , donc $\zeta'(s) = \frac{-1}{(s-1)^2} + O(1)$ . Il vient : $- \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \frac{ \frac{1}{(s-1)^2} + O(1) }{ \frac{1}{s-1} + O(1) } = \frac{1}{s-1} \left( \frac{1 + O((s-1)^2)}{1 + O(s-1)} \right) = \frac{1}{s-1} + O(1)$ Par ailleurs, $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s} = \sum_{p \in \mathcal{P}} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\ln p}{p^{ks}} = \sum_{p \in \mathcal{P}} \frac{\ln p}{p^s} + \sum_{p \in \mathcal{P}} \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{\ln p}{p^{ks}}$ . La seconde somme est majorée par $\sum_{p \in \mathcal{P}} \ln p \sum_{k=2}^{+\infty} (p^{-1})^k = \sum_p \frac{\ln p}{p(p-1)}$ , qui converge. Elle est donc $O(1)$ . Ainsi : $\boxed{ \sum_{p \in \mathcal{P}} \frac{\ln p}{p^s} = \frac{1}{s-1} + O(1) }$
Posons $f(s) = \sum_{p \in \mathcal{P}} p^{-s}$ . On a $f'(s) = - \sum_p \frac{\ln p}{p^s}$ . D'après la question 3, $f'(s) = -\frac{1}{s-1} + O(1)$ . En intégrant entre $s$ et $2$ (par exemple) : $f(s) - f(2) = \int_s^2 \left( \frac{1}{t-1} + O(1) \right) dt = \left[ \ln(t-1) \right]_s^2 + O(1) = -\ln(s-1) + O(1)$ On en déduit : $\boxed{ \sum_{p \in \mathcal{P}} \frac{1}{p^s} = \ln\left(\frac{1}{s-1}\right) + O(1) }$ Puisque cette somme tend vers $+\infty$ quand $s \to 1^+$ , on en conclut que la série $\sum \frac{1}{p}$ diverge, et par extension, qu'il existe une infinité de nombres premiers.

Négliger les puissances supérieures de p dans le développement.

Le lien entre logarithme de la fonction zêta et les nombres premiers.