Règle de Raabe-Duhamel

Résolution.

1. Supposons qu'il existe $n_0 \ge 1$ tel que pour tout $k \ge n_0$, $\frac{u_{k+1}}{u_k} \ge \frac{k-1}{k}$. Pour $n > n_0$, nous pouvons écrire $u_n$ sous la forme d'un produit télescopique :
   $$u_n = u_{n_0} \prod_{k=n_0}^{n-1} \frac{u_{k+1}}{u_k}$$
   En utilisant l'hypothèse, on obtient la minoration :
   $$u_n \ge u_{n_0} \prod_{k=n_0}^{n-1} \frac{k-1}{k}$$
   Le produit se simplifie par télescopage :
   $$\prod_{k=n_0}^{n-1} \frac{k-1}{k} = \frac{n_0-1}{n_0} \cdot \frac{n_0}{n_0+1} \cdots \frac{n-2}{n-1} = \frac{n_0-1}{n-1}$$
   On en déduit donc :
   $$\forall n > n_0,   u_n \ge \frac{(n_0-1)u_{n_0}}{n-1}$$
   Le terme général $u_n$ est minoré par le terme général d'une série divergente (série harmonique décalée).
   $$\boxed{\text{La série } \sum u_n \text{ diverge par comparaison.}}$$

2. Soit $\alpha$ un réel tel que $1 < \alpha < A$. Posons $v_n = \frac{1}{n^\alpha}$. On a :
   $$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^\alpha = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{-\alpha}$$
   Par développement limité au voisinage de 0, on a $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$, d'où :
   $$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \exp\left( -\alpha \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \right) = \exp\left( -\frac{\alpha}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) = 1 - \frac{\alpha}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$
   D'autre part, l'hypothèse nous donne :
   $$\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1 - \frac{A}{n}$$
   Comparons les deux rapports pour $n$ assez grand :
   $$\frac{u_{n+1}}{u_n} - \frac{v_{n+1}}{v_n} \le \left( 1 - \frac{A}{n} \right) - \left( 1 - \frac{\alpha}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) = \frac{\alpha - A}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$
   Comme $\alpha - A < 0$, pour $n$ suffisamment grand, on a $\frac{u_{n+1}}{u_n} - \frac{v_{n+1}}{v_n} < 0$, soit :
   $$\frac{u_{n+1}}{u_n} \le \frac{v_{n+1}}{v_n}$$
   Cette inégalité sur les rapports de termes positifs implique, par récurrence immédiate, que $u_n = O(v_n)$. Comme $\alpha > 1$, la série de Riemann $\sum v_n$ converge.
   $$\boxed{\text{Par comparaison, la série } \sum u_n \text{ converge.}}$$