Vitesse de convergence des séries

Résolution.

1. Supposons que $\sum a_n$ converge. Notons $R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} a_k$ le reste de rang $n$. La suite $(R_n)$ est décroissante et tend vers 0. On suppose $a_n > 0$ (si certains $a_n$ sont nuls, cela ne change pas la convergence globale). Posons $b_n = \frac{1}{\sqrt{R_{n-1}}}$ pour $n \ge 1$. Comme $R_n \to 0$, on a bien $b_n \to +\infty$. Considérons le terme général $a_n b_n$ :
   $$a_n b_n = \frac{R_{n-1} - R_n}{\sqrt{R_{n-1}}}$$
   Or, pour tout $0 \le y < x$, on a l'inégalité $\frac{x-y}{\sqrt{x}} \le 2(\sqrt{x} - \sqrt{y})$. En effet, cela équivaut à $x-y \le 2\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 2x - 2\sqrt{xy}$, soit $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 \ge 0$. En appliquant cette inégalité avec $x = R_{n-1}$ et $y = R_n$, on obtient :
   $$a_n b_n \le 2(\sqrt{R_{n-1}} - \sqrt{R_n})$$
   La somme partielle de la série $\sum a_n b_n$ est donc majorée par une somme télescopique :
   $$\sum_{k=1}^n a_k b_k \le 2 \sum_{k=1}^n (\sqrt{R_{k-1}} - \sqrt{R_k}) = 2(\sqrt{R_0} - \sqrt{R_n}) \le 2\sqrt{R_0}$$
   $$\boxed{\text{La série } \sum a_n b_n \text{ converge car ses sommes partielles sont majorées.}}$$

2. Supposons que $\sum a_n$ diverge. Notons $S_n = \sum_{k=0}^{n} a_k$ la somme partielle de rang $n$. La suite $(S_n)$ est croissante et tend vers $+\infty$. Posons $b_n = \frac{1}{S_n}$ pour $n \ge 0$. On a bien $b_n \to 0$. On cherche à montrer que $\sum \frac{a_n}{S_n}$ diverge.
   $$\frac{a_n}{S_n} = \frac{S_n - S_{n-1}}{S_n}$$
   Pour $n \ge 1$, considérons la somme sur une tranche $[m+1, n]$ :
   $$\sum_{k=m+1}^n \frac{a_k}{S_k} = \sum_{k=m+1}^n \frac{S_k - S_{k-1}}{S_k}$$
   Puisque $x \mapsto 1/x$ est décroissante sur $\mathbb{R}^{+*}$, on a pour $t \in [S_{k-1}, S_k]$ : $\frac{1}{S_k} \le \frac{1}{t}$. En intégrant sur $[S_{k-1}, S_k]$, il vient :
   $$\frac{S_k - S_{k-1}}{S_k} \ge \int_{S_{k-1}}^{S_k} \frac{dt}{t} = \ln(S_k) - \ln(S_{k-1})$$
   Par sommation télescopique :
   $$\sum_{k=m+1}^n \frac{a_k}{S_k} \ge \sum_{k=m+1}^n (\ln S_k - \ln S_{k-1}) = \ln S_n - \ln S_m$$
   Comme $S_n \to +\infty$, alors $\ln S_n \to +\infty$.
   $$\boxed{\text{La série } \sum a_n b_n \text{ diverge par comparaison avec une fonction logarithme.}}$$