Convergence uniforme et normale de séries rationnelles

On considère les deux fonctions suivantes définies par des séries :

f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n^2 + x^2}   \text{et}   g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n x}{n^2 + x^2}

Étude de $f$ $f$ :
1. Justifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ .
2. Démontrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
3. La série définissant $f$ converge-t-elle uniformément sur $\mathbb{R}$ ?
Étude de $g$ $g$ :
1. Justifier que $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ .
2. Étudier la convergence normale de la série définissant $g$ sur $\mathbb{R}$ .
3. Étudier la convergence uniforme de cette série sur $\mathbb{R}$ .

1.

Pour $f$ , utiliser une comparaison avec une série de Riemann pour la convergence simple. Pour la continuité, regarder la convergence normale sur tout segment.

2.

Pour la non-convergence uniforme de $f$ sur $\mathbb{R}$ , comparer la somme à une intégrale pour trouver la limite en $+\infty$ .

3.

Pour $g$ , le maximum de $|g_n(x)|$ est atteint en $x=n$ .

4.

Utiliser le reste du CSSA pour la convergence uniforme de $g$ .

Idées clés

•

Convergence normale sur les compacts implique la continuité.

•

Théorème de la double limite (version contraposée pour l'uniforme).

•

Comparaison série-intégrale.

Résolution.

Étude de $f$ :
1. Pour $x$ fixé, $\frac{x}{n^2 + x^2} \sim \frac{x}{n^2}$ quand $n \to +\infty$ . Comme la série $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, $f(x)$ est bien défini pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
2. Soit $a > 0$ et $x \in [-a, a]$ . On a : $\left| \frac{x}{n^2 + x^2} \right| \leq \frac{a}{n^2}$ C'est le terme général d'une série numérique convergente. La série converge donc normalement (et uniformément) sur tout segment $[-a, a]$ . Chaque terme étant continu, $\boxed{f \text{ est continue sur } \mathbb{R}}$ .
3. Si la convergence était uniforme sur $\mathbb{R}$ , comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{n^2+x^2} = 0$ , on aurait par le théorème de la double limite $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ . Or, pour $x > 0$ , par comparaison série-intégrale (la fonction $t \mapsto \frac{x}{t^2+x^2}$ est décroissante) : $f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n^2+x^2} \geq \int_1^{+\infty} \frac{x}{t^2+x^2} dt = \left[ \arctan\left(\frac{t}{x}\right) \right]_1^{+\infty} = \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ Ainsi $\liminf_{x \to +\infty} f(x) \geq \frac{\pi}{2}$ . $\boxed{\text{La série ne converge pas uniformément sur } \mathbb{R}.}$
Étude de $g$ :
1. La série converge absolument car $|g_n(x)| = |f_n(x)|$ et $\sum f_n(x)$ converge. Donc $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ .
2. Soit $h_n(x) = \frac{x}{n^2+x^2}$ . On a $h_n'(x) = \frac{n^2-x^2}{(n^2+x^2)^2}$ . Le maximum de $|h_n|$ sur $\mathbb{R}$ est atteint pour $x=n$ et vaut $h_n(n) = \frac{n}{2n^2} = \frac{1}{2n}$ . Comme $\sum \frac{1}{2n}$ diverge, $\boxed{\text{la série ne converge pas normalement sur } \mathbb{R}}$ .
3. Pour $x \geq 0$ fixé, la suite $(\frac{x}{n^2+x^2})_n$ décroit vers 0. Le CSSA s'applique. Le reste vérifie : $|R_n(x)| \leq \left| \frac{(-1)^{n+1} x}{(n+1)^2 + x^2} \right| \leq \sup_{x \in \mathbb{R}^+} \frac{x}{(n+1)^2 + x^2} = \frac{1}{2(n+1)}$ Ce majorant tend vers 0 indépendamment de $x$ . Par imparité, le résultat s'étend à $\mathbb{R}$ . $\boxed{\text{La série converge uniformément sur } \mathbb{R}.}$

Oublier que la convergence uniforme n'implique pas la convergence normale.

Utiliser la limite en l'infini pour infirmer la convergence uniforme.