Étude d'une suite d'intégrales hyperboliques

Résolution.

1. La fonction $\sinh$ est continue, strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et réalise une bijection de $[0, +\infty[$ sur $[0, +\infty[$. Comme $1 \in [0, +\infty[$, $\alpha$ existe et est unique. $\sinh \alpha = 1 \iff \frac{e^\alpha - e^{-\alpha}}{2} = 1 \iff (e^\alpha)^2 - 2e^\alpha - 1 = 0$. En posant $X = e^\alpha > 0$, on trouve $X = \frac{2 + \sqrt{8}}{2} = 1 + \sqrt{2}$.
   $$\boxed{\alpha = \ln(1 + \sqrt{2})}$$

2. Pour tout $t \in [0, \alpha]$, $0 \leqslant \sinh t \leqslant 1$. Donc $(\sinh t)^{n+1} \leqslant (\sinh t)^n$, d'où $I_{n+1} \leqslant I_n$. La suite est décroissante et minorée par $0$, donc elle converge. Pour $t \in [0, \alpha[$, $(\sinh t)^n \to 0$. Par convergence dominée (ou majoration simple),
   $$\boxed{\lim_{n \to \infty} I_n = 0}$$

3. Pour $n \geqslant 2$, intégrons par parties $I_n = \int_0^\alpha \sinh t \cdot (\sinh t)^{n-1}   \mathrm{d}t$ :
   $$I_n = [\cosh t (\sinh t)^{n-1}]_0^\alpha - (n-1) \int_0^\alpha \cosh^2 t (\sinh t)^{n-2}   \mathrm{d}t$$
   Comme $\sinh \alpha = 1$, alors $\cosh \alpha = \sqrt{1 + \sinh^2 \alpha} = \sqrt{2}$.
   $$I_n = \sqrt{2} - (n-1) \int_0^\alpha (1 + \sinh^2 t) (\sinh t)^{n-2}   \mathrm{d}t = \sqrt{2} - (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$$
   En regroupant les $I_n$, on obtient :
   $$\boxed{n I_n + (n-1) I_{n-2} = \sqrt{2}}$$

4. Comme $I_n \to 0$ et $I_n$ est décroissante, $I_n \sim I_{n-1} \sim I_{n-2}$. La relation précédente devient $(n + n-1) I_n \sim \sqrt{2}$, soit $2n I_n \sim \sqrt{2}$.
   $$\boxed{I_n \sim \frac{\sqrt{2}}{2n} = \frac{1}{n\sqrt{2}}}$$

5. • La suite $(I_n)$ décroit vers $0$, donc par le critère spécial des séries alternées, $\boxed{\sum (-1)^n I_n \text{ converge}}$.
   • Comme $I_n \sim \frac{1}{n\sqrt{2}}$, par comparaison avec la série harmonique (série de Riemann divergente), $\boxed{\sum I_n \text{ diverge}}$.