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Développement asymptotique sur un segment

intégraleconvergence dominéedéveloppement asymptotiqueChangement de variableThéorème de convergence dominée

Soit (un)n∈N∗(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} la suite définie par :

un=∫0111+xn dxu_n = \int_0^1 \frac{1}{1 + x^n}   \mathrm{d}x

  1. Justifier que la suite (un)(u_n) converge et déterminer sa limite.
  2. En utilisant un changement de variable approprié, déterminer un développement asymptotique de unu_n à deux termes lorsque n→+∞n \to +\infty.

1.

Pour la limite, on pourra utiliser le théorème de convergence dominée.

2.

Pour le second terme, étudier la quantité n(un−1)n(u_n - 1) et effectuer le changement de variable t=xnt = x^n.

Idées clés

•

Théorème de convergence dominée pour la limite.

•

Changement de variable t=xnt = x^n pour extraire la vitesse de convergence.

1. Étude de la limite.

Considérons la suite de fonctions fn:x↦11+xnf_n : x \mapsto \frac{1}{1+x^n} définie sur [0,1][0, 1].

Pour tout x∈[0,1[x \in [0, 1[, xn→n→+∞0x^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0, donc fn(x)→n→+∞1f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1.

Pour x=1x = 1, fn(1)=1/2f_n(1) = 1/2.

La suite (fn)(f_n) converge simplement sur [0,1][0, 1] vers la fonction ff définie par f(x)=1f(x)=1 si x<1x<1 et f(1)=1/2f(1)=1/2. Cette fonction est continue par morceaux sur [0,1][0, 1].

De plus, on a la domination suivante :

∀n∈N∗,∀x∈[0,1],∣fn(x)∣⩽1\forall n \in \mathbb{N}^*, \forall x \in [0, 1],   |f_n(x)| \leqslant 1

La fonction constante égale à 11 est intégrable sur [0,1][0, 1]. Par le théorème de convergence dominée :

lim⁡n→+∞un=∫011 dx=1\lim_{n \to +\infty} u_n = \int_0^1 1   \mathrm{d}x = 1

2. Développement asymptotique.

Cherchons le terme suivant en étudiant vn=n(un−1)v_n = n(u_n - 1). On a :

vn=n∫01(11+xn−1) dx=−∫01nxn1+xn dxv_n = n \int_0^1 \left( \frac{1}{1+x^n} - 1 \right)   \mathrm{d}x = - \int_0^1 \frac{n x^n}{1+x^n}   \mathrm{d}x

Effectuons le changement de variable t=xnt = x^n. On a alors x=t1/nx = t^{1/n} et dx=1nt1n−1 dt\mathrm{d}x = \frac{1}{n} t^{\frac{1}{n} - 1}   \mathrm{d}t. Les bornes restent 00 et 11.

L'intégrale devient :

vn=−∫01t1+t⋅n⋅1nt1n−1 dt=−∫01t1/n1+t dtv_n = - \int_0^1 \frac{t}{1+t} \cdot n \cdot \frac{1}{n} t^{\frac{1}{n} - 1}   \mathrm{d}t = - \int_0^1 \frac{t^{1/n}}{1+t}   \mathrm{d}t

Posons gn(t)=t1/n1+tg_n(t) = \frac{t^{1/n}}{1+t} pour t∈]0,1]t \in ]0, 1]. Pour chaque t∈]0,1]t \in ]0, 1], t1/n=e1nln⁡(t)→n→+∞1t^{1/n} = e^{\frac{1}{n} \ln(t)} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1.

Ainsi, (gn)(g_n) converge simplement vers g:t↦11+tg : t \mapsto \frac{1}{1+t}. De plus, ∀t∈]0,1],∣gn(t)∣⩽11+t\forall t \in ]0, 1], |g_n(t)| \leqslant \frac{1}{1+t}, qui est intégrable sur ]0,1]]0, 1].

D'après le théorème de convergence dominée :

lim⁡n→+∞vn=−∫0111+t dt=−[ln⁡(1+t)]01=−ln⁡2\lim_{n \to +\infty} v_n = - \int_0^1 \frac{1}{1+t}   \mathrm{d}t = - [\ln(1+t)]_0^1 = -\ln 2

On en déduit que n(un−1)=−ln⁡2+o(1)n(u_n - 1) = -\ln 2 + o(1), soit :

un=1−ln⁡2n+o(1n)\boxed{u_n = 1 - \frac{\ln 2}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)}

Oubli de la domination intégrable.

Changement de variable t=x^n.