Convergence d'une série à poids exponentiel

Résolution.

1. La fonction $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+$. On a :
   $$f_n'(x) = \frac{e^{-ax}}{n!} \left( n x^{n-1} - a x^n \right) = \frac{x^{n-1} e^{-ax}}{n!} (n - ax)$$
   La fonction $f_n$ atteint son maximum en $x_n = \frac{n}{a}$. On a alors :
   $$\|f_n\|_\infty = f_n\left(\frac{n}{a}\right) = \frac{n^n}{n! a^n e^n}$$
   D'après la formule de Stirling, $n! \sim \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n}$, d'où :
   $$\|f_n\|_\infty \sim \frac{n^n}{\left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n} \cdot a^n e^n} = \frac{1}{a^n \sqrt{2\pi n}}$$
   Premier cas : $a > 1$. Alors $\|f_n\|_\infty \to 0$, donc la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $[0, +\infty[$. Deuxième cas : $a = 1$. Alors $\|f_n\|_\infty \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi n}} \to 0$, donc la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $[0, +\infty[$. Troisième cas : $0 < a < 1$. Alors $\|f_n\|_\infty \to +\infty$, donc la suite ne converge pas uniformément.

2. Pour $x \ge 0$ fixé, on reconnaît une série exponentielle :
   $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) = e^{-ax} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^{-ax} \cdot e^x = e^{(1-a)x}$$
   La série converge simplement sur $[0, +\infty[$ vers la fonction $S : x \mapsto e^{(1-a)x}$.

3. Si $a > 1$ : On a vu que $\|f_n\|_\infty \sim \frac{1}{a^n \sqrt{2\pi n}}$. Puisque $a > 1$, c'est le terme général d'une série convergente. La série $\sum f_n$ converge donc normalement, et par suite uniformément sur $[0, +\infty[$.

   Si $a \le 1$ : Examinons le comportement en $+\infty$. Si $a < 1$, $S(x) = e^{(1-a)x} \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty$. Les sommes partielles sont des fonctions qui tendent vers $0$ en $+\infty$ (car dominées par $e^{-ax}$). Une limite uniforme de fonctions tendant vers $0$ doit tendre vers $0$. Comme $S$ ne tend pas vers $0$, la convergence n'est pas uniforme. Si $a = 1$, $S(x) = 1$. Or chaque somme partielle $S_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} e^{-x}$ tend vers $0$ quand $x \to +\infty$. En effet, pour tout $n$, $\lim_{x \to +\infty} S_n(x) = 0$ par croissance comparée. Si la convergence était uniforme sur $[0, +\infty[$, on aurait :

   $$\lim_{x \to +\infty} S(x) = \lim_{x \to +\infty} \lim_{n \to +\infty} S_n(x) = \lim_{n \to +\infty} \lim_{x \to +\infty} S_n(x) = 0$$
   Or $S(x) = 1$ pour tout $x$. Contradiction.
   $$\boxed{ \text{La série converge uniformément sur } [0, +\infty[ \iff a > 1 }$$