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Limite de l'infimum et convergence uniforme

convergence uniformeinfimumcontinuitésegmentNorme infinieThéorème de Weierstrass

Soit [a,b][a, b] un segment de R\mathbb{R} et (fn)n∈N(f_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de fonctions réelles continues sur [a,b][a, b].

On suppose que la suite (fn)(f_n) converge uniformément sur [a,b][a, b] vers une fonction ff.

Montrer que la suite des infimums converge vers l'infimum de la limite, c'est-à-dire :

lim⁡n→+∞(inf⁡x∈[a,b]fn(x))=inf⁡x∈[a,b]f(x)\lim_{n \to +\infty} \left( \inf_{x \in [a, b]} f_n(x) \right) = \inf_{x \in [a, b]} f(x)

1.

Commencer par justifier la continuité de la fonction limite ff.

2.

Utiliser le fait qu'une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

3.

Traduire la convergence uniforme à l'aide de la norme infinie ∥⋅∥∞\| \cdot \|_\infty pour obtenir des encadrements sur les fonctions, puis passer à l'infimum.

Idées clés

•

Conservation de la continuité par convergence uniforme.

•

Propriété de l'infimum : si g≤hg \leq h sur II, alors inf⁡Ig≤inf⁡Ih\inf_I g \leq \inf_I h.

•

Inégalité triangulaire renversée sur l'infimum.

Résolution.

La suite de fonctions (fn)(f_n) est constituée de fonctions continues sur [a,b][a, b] et converge uniformément vers ff sur ce même segment.

D'après le cours sur les suites de fonctions, la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue.

Ainsi, ff est continue sur le segment [a,b][a, b].

Puisque les fonctions fnf_n et ff sont continues sur le segment [a,b][a, b], elles y sont bornées et atteignent leurs bornes.

On peut donc poser, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :

mn=inf⁡t∈[a,b]fn(t)etm=inf⁡t∈[a,b]f(t)m_n = \inf_{t \in [a, b]} f_n(t)   \text{et}   m = \inf_{t \in [a, b]} f(t)

Soit ε>0\varepsilon > 0. Par définition de la convergence uniforme de (fn)(f_n) vers ff, il existe un rang N∈NN \in \mathbb{N} tel que :

∀n≥N,∥fn−f∥∞≤ε\forall n \geq N,   \|f_n - f\|_\infty \leq \varepsilon

Cela signifie que pour tout n≥Nn \geq N et pour tout t∈[a,b]t \in [a, b], on a l'encadrement suivant :

f(t)−ε≤fn(t)≤f(t)+εf(t) - \varepsilon \leq f_n(t) \leq f(t) + \varepsilon

En utilisant la croissance de l'infimum, nous pouvons manipuler ces inégalités.

Pour tout n≥Nn \geq N, l'inégalité fn(t)≤f(t)+εf_n(t) \leq f(t) + \varepsilon implique :

inf⁡t∈[a,b]fn(t)≤inf⁡t∈[a,b](f(t)+ε)\inf_{t \in [a, b]} f_n(t) \leq \inf_{t \in [a, b]} (f(t) + \varepsilon)

Ce qui se réécrit, par linéarité de l'infimum par rapport aux constantes :

mn≤m+ε\boxed{ m_n \leq m + \varepsilon }

De même, l'inégalité f(t)≤fn(t)+εf(t) \leq f_n(t) + \varepsilon (issue de fn(t)≥f(t)−εf_n(t) \geq f(t) - \varepsilon) entraîne :

inf⁡t∈[a,b]f(t)≤inf⁡t∈[a,b](fn(t)+ε)\inf_{t \in [a, b]} f(t) \leq \inf_{t \in [a, b]} (f_n(t) + \varepsilon)

D'où l'on tire :

m≤mn+ε\boxed{ m \leq m_n + \varepsilon }

En combinant ces deux résultats, nous obtenons pour tout n≥Nn \geq N :

∣mn−m∣≤ε|m_n - m| \leq \varepsilon

Ceci démontre que la suite (mn)n∈N(m_n)_{n \in \mathbb{N}} converge vers mm. On a bien :

lim⁡n→+∞inf⁡[a,b]fn=inf⁡[a,b]f\boxed{ \lim_{n \to +\infty} \inf_{[a, b]} f_n = \inf_{[a, b]} f }

Confondre convergence simple et convergence uniforme.

L'infimum est une application 1-lipschitzienne pour la norme infini.