Convergence d'une série de fonctions rationnelles

Pour tout entier naturel $n$ , on considère la fonction $u_n$ définie sur $\mathbb{R}_{+}$ par :

u_n(x) = \frac{x}{(1+n^2 x)^2}

Étudier la convergence simple, puis la convergence uniforme de la série de fonctions $\sum u_n$ sur $\mathbb{R}_{+}$ .
Étudier la convergence simple, puis la convergence uniforme de la série de fonctions $\sum u_n'$ sur $\mathbb{R}_{+}$ , puis sur tout intervalle de la forme $[a, +\infty[$ avec $a > 0$ .

1.

Pour la convergence uniforme de $\sum u_n$ , commencez par rechercher la convergence normale en étudiant les variations de chaque terme général.

2.

Pour $\sum u_n'$ , calculez explicitement la dérivée et vérifiez le comportement du terme général en $x=0$ pour la convergence simple.

3.

Utilisez le théorème de la double limite pour infirmer une éventuelle convergence uniforme au voisinage de 0 pour la série des dérivées.

Idées clés

•

Étude des variations pour la convergence normale.

•

Lien entre convergence normale et convergence uniforme.

•

Analyse locale (en 0) pour la série des dérivées.

1. Étude de la série $\sum u_n$ .

Convergence simple : Soit $x \in \mathbb{R}_{+}$ . Si $x = 0$ , pour tout $n$ , $u_n(0) = 0$ , donc la série $\sum u_n(0)$ converge et sa somme est nulle.

Si $x > 0$ , au voisinage de l'infini, on a l'équivalence :

u_n(x) \sim \frac{x}{(n^2 x)^2} = \frac{1}{x n^4}

Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^4}$ converge, par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum u_n(x)$ converge.

La série de fonctions $\sum u_n$ converge donc simplement sur $\mathbb{R}_{+}$ .

Convergence uniforme : Cherchons la convergence normale. La fonction $u_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_{+}$ . Pour tout $x \ge 0$ : \begin{align*} u_n'(x) &= \frac{(1+n^2 x)^2 - x \cdot 2 \cdot n^2 (1+n^2 x)}{(1+n^2 x)^4}
u_n'(x) &= \frac{1+n^2 x - 2n^2 x}{(1+n^2 x)^3} = \frac{1 - n^2 x}{(1+n^2 x)^3} \end{align*}

La dérivée s'annule en $x_n = \frac{1}{n^2}$ (pour $n \ge 1$ ). La fonction $u_n$ est croissante sur $[0, 1/n^2]$ et décroissante sur $[1/n^2, +\infty[$ . Le maximum de $|u_n|$ est donc atteint en $x_n$ :

\|u_n\|_{\infty} = u_n\left(\frac{1}{n^2}\right) = \frac{1/n^2}{(1+1)^2} = \frac{1}{4n^2}

Comme $\sum \frac{1}{4n^2}$ est une série convergente, on en déduit que :

\boxed{\sum u_n \text{ converge normalement (et donc uniformément) sur } \mathbb{R}_{+}}

2. Étude de la série $\sum u_n'$ .

Convergence simple : Calculons $u_n'(0)$ . D'après l'expression précédente :

u_n'(0) = \frac{1 - 0}{(1+0)^3} = 1

La série $\sum u_n'(0)$ est la série $\sum 1$ , qui diverge grossièrement vers $+\infty$ . Par conséquent, la série de fonctions $\sum u_n'$ ne converge pas simplement sur $\mathbb{R}_{+}$ .

Convergence sur $[a, +\infty[$ ( $a > 0$ ) : Soit $a > 0$ . Pour $n$ suffisamment grand tel que $\frac{1}{n^2} < a$ , la fonction $|u_n'|$ est décroissante sur $[a, +\infty[$ . On a alors pour tout $x \ge a$ : \begin{align*} |u_n'(x)| &= \left| \frac{1 - n^2 x}{(1+n^2 x)^3} \right| = \frac{n^2 x - 1}{(1+n^2 x)^3}
|u_n'(x)| &\le \frac{n^2 x}{(n^2 x)^3} = \frac{1}{n^4 x^2} \le \frac{1}{a^2 n^4} \end{align*}

Comme $\sum \frac{1}{a^2 n^4}$ converge, la série $\sum u_n'$ converge normalement sur $[a, +\infty[$ .

\boxed{\sum u_n' \text{ converge uniformément sur tout intervalle } [a, +\infty[ \text{ avec } a > 0}

Absence de convergence uniforme sur $]0, a]$ : S'il y avait convergence uniforme sur $]0, a]$ , comme chaque $u_n'$ admet une limite finie en 0 ( $u_n'(x) \xrightarrow{x \to 0} 1$ ), le théorème de la double limite impliquerait que la série $\sum \lim_{x \to 0} u_n'(x) = \sum 1$ converge, ce qui est faux. Ainsi, il n'y a pas convergence uniforme sur $]0, a]$ .

Vérification de la convergence simple en 0 pour la série dérivée.

Utilisation de la double limite pour nier la convergence uniforme.