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Équirépartition et intégrale divergente

Weyléquirépartitiontroncaturepartie fractionnaireThéorème de WeylTroncature

Soit f:[0,1[→R+f : [0, 1[ \to \mathbb{R}^+ une fonction continue. On suppose que l'intégrale de ff sur [0,1[[0, 1[ est divergente, c'est-à-dire :

∫01f(t) dt=+∞\int_0^1 f(t)   dt = +\infty

On considère un nombre irrationnel θ∈R∖Q\theta \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}. Pour tout entier k≥1k \geq 1, on note {kθ}=kθ−⌊kθ⌋\{k\theta\} = k\theta - \lfloor k\theta \rfloor la partie fractionnaire de kθk\theta.

Déterminer la limite de la suite (un)n∈N∗(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} définie par :

un=1n∑k=1nf({kθ})u_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(\{k\theta\})

1.

Rappeler le théorème de Weyl sur l'équirépartition de la suite ({kθ})k∈N∗(\{k\theta\})_{k \in \mathbb{N}^*} pour θ\theta irrationnel.

2.

Pour une fonction continue et bornée sur [0,1][0, 1], la moyenne de Weyl converge vers l'intégrale.

3.

Utiliser une technique de troncature : introduire la fonction fM(x)=min⁡(f(x),M)f_M(x) = \min(f(x), M) pour un seuil M>0M > 0 arbitrairement grand.

4.

Relier la limite de la moyenne de fMf_M à celle de ff par une minoration.

Idées clés

•

Équirépartition de la suite ({kθ})(\{k\theta\}) (Théorème de Weyl).

•

Approximation par des fonctions bornées (troncature).

•

Définition de la divergence vers +∞+\infty par minoration.

Résolution.

Soit M>0M > 0. On introduit la fonction troncature fMf_M définie sur [0,1[[0, 1[ par :

∀x∈[0,1[,fM(x)=min⁡(f(x),M)\forall x \in [0, 1[,   f_M(x) = \min(f(x), M)

Puisque ff est continue sur [0,1[[0, 1[, la fonction fMf_M est également continue sur [0,1[[0, 1[. De plus, fMf_M est bornée par MM. Comme ∫01f(t) dt=+∞\int_0^1 f(t)   dt = +\infty, on sait que ff n'est pas bornée au voisinage de 11.

Puisque f≥0f \geq 0 et continue, fMf_M peut être prolongée par continuité en 11 si lim⁡x→1f(x)=+∞\lim_{x \to 1} f(x) = +\infty, ou elle reste au moins Riemann-intégrable sur [0,1][0, 1] car elle est bornée et continue presque partout (ses discontinuités sont limitées au point 11).

D'après le théorème d'équirépartition de Weyl, pour toute fonction gg Riemann-intégrable sur [0,1][0, 1], on a :

lim⁡n→+∞1n∑k=1ng({kθ})=∫01g(t) dt\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n g(\{k\theta\}) = \int_0^1 g(t)   dt

En appliquant ce résultat à la fonction fMf_M, on obtient :

lim⁡n→+∞1n∑k=1nfM({kθ})=∫01fM(t) dt\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f_M(\{k\theta\}) = \int_0^1 f_M(t)   dt

Or, par définition de fMf_M, on a pour tout x∈[0,1[x \in [0, 1[, f(x)≥fM(x)f(x) \geq f_M(x). Par linéarité et croissance de la somme, il vient :

∀n∈N∗,un=1n∑k=1nf({kθ})≥1n∑k=1nfM({kθ})\forall n \in \mathbb{N}^*,   u_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(\{k\theta\}) \geq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f_M(\{k\theta\})

En passant à la limite inférieure dans cette inégalité, on en déduit :

lim inf⁡n→+∞un≥∫01fM(t) dt\liminf_{n \to +\infty} u_n \geq \int_0^1 f_M(t)   dt

Cette inégalité est vraie pour tout M>0M > 0. Étudions maintenant le comportement de l'intégrale de fMf_M lorsque MM tend vers l'infini. D'après le théorème de convergence monotone (ou simplement par définition d'une intégrale impropre d'une fonction positive), on a :

lim⁡M→+∞∫01fM(t) dt=∫01f(t) dt\lim_{M \to +\infty} \int_0^1 f_M(t)   dt = \int_0^1 f(t)   dt

Puisque, par hypothèse, cette intégrale diverge, on a :

lim⁡M→+∞∫01fM(t) dt=+∞\lim_{M \to +\infty} \int_0^1 f_M(t)   dt = +\infty

On en conclut que :

∀A>0,∃M>0,∫01fM(t) dt>A\forall A > 0, \exists M > 0,   \int_0^1 f_M(t)   dt > A
D'où lim inf⁡un>A\liminf u_n > A pour tout AA, ce qui prouve que :
lim⁡n→+∞1n∑k=1nf({kθ})=+∞\boxed{\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(\{k\theta\}) = +\infty}

Application directe de Weyl à une fonction non bornée sans justification.

Utiliser la troncature pour généraliser des résultats de convergence aux fonctions non bornées.