Convergence absolue d'une série trigonométrique lacunaire

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de nombres réels. On considère la série de fonctions définie par :

S(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \cos(4^n t)

On suppose que cette série converge pour tout réel $t$ appartenant à un intervalle $I \subset \mathbb{R}$ non réduit à un point.

Démontrer que la série numérique $\sum |a_n|$ est convergente.

1.

L'objectif est de construire un point $t \in I$ tel que pour tout $n$ assez grand, le terme $a_n \cos(4^n t)$ soit de même signe que $a_n$ et suffisamment "grand".

2.

Utiliser une construction par intervalles fermés emboîtés.

3.

Pour un intervalle $J$ , étudier l'image de $J$ par l'application $t \mapsto 4^n t$ pour montrer qu'elle finit par recouvrir une période entière du cosinus.

Idées clés

•

Construction d'un point par segments emboîtés (argument de compacité).

•

Analyse de la dynamique de $t \mapsto 4^n t$ (expansion des longueurs).

•

Théorème de comparaison pour les séries à termes positifs.

1. Étude des zones de forte valeur du cosinus.

Pour chaque $n \in \mathbb{N}$ , on cherche à ce que $\cos(4^n t)$ soit du même signe que $a_n$ .

Considérons l'ensemble $K_n$ défini par :

Si $a_n \geq 0$ , $K_n = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[ \frac{2k\pi - \pi/3}{4^n}, \frac{2k\pi + \pi/3}{4^n} \right]$ .
Si $a_n < 0$ , $K_n = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[ \frac{(2k+1)\pi - \pi/3}{4^n}, \frac{(2k+1)\pi + \pi/3}{4^n} \right]$ .

On remarque que pour tout $t \in K_n$ , on a l'inégalité fondamentale :

\boxed{ a_n \cos(4^n t) \geq \frac{|a_n|}{2} }

2. Construction d'une suite de segments emboîtés.

Soit $J_0 \subset I$ un segment de longueur $L > 0$ . On souhaite construire une suite de segments $(J_n)_{n \geq n_0}$ telle que :

\forall n \geq n_0,   J_{n+1} \subset J_n   \text{et}   J_n \subset K_n

Notons $L_n$ la longueur d'un segment composant $K_n$ . On a $L_n = \frac{2\pi}{3 \cdot 4^n}$ .

L'écart entre deux segments consécutifs de $K_n$ est $E_n = \frac{2\pi}{4^n} - L_n = \frac{4\pi}{3 \cdot 4^n}$ .

Dès que la longueur d'un segment $J$ est supérieure à la période $\frac{2\pi}{4^n}$ , $J$ contient nécessairement un segment entier de $K_n$ .

Soit $n_0$ tel que la longueur de $J_0$ vérifie $L \geq \frac{2\pi}{4^{n_0}}$ . Alors il existe un segment $J_{n_0} \subset J_0$ tel que $J_{n_0}$ soit l'un des segments constituants de $K_{n_0}$ .

La longueur de $J_{n_0}$ est $len(J_{n_0}) = \frac{2\pi}{3 \cdot 4^{n_0}}$ .

3. Hérédité de la construction.

Supposons construit $J_n$ un segment de $K_n$ de longueur $\frac{2\pi}{3 \cdot 4^n}$ .

Regardons l'image de $J_n$ par l'application $\phi : t \mapsto 4^{n+1}t$ . L'image $\phi(J_n)$ est un intervalle de longueur :

len(\phi(J_n)) = 4^{n+1} \cdot \frac{2\pi}{3 \cdot 4^n} = \frac{8\pi}{3}

Puisque $\frac{8\pi}{3} > 2\pi$ , l'intervalle $\phi(J_n)$ contient au moins une période complète du type $[m2\pi, (m+1)2\pi]$ .

Par conséquent, $\phi(J_n)$ contient au moins un intervalle de la forme $[k\pi - \pi/3, k\pi + \pi/3]$ correspondant au signe de $a_{n+1}$ .

Il existe donc un segment $J_{n+1} \subset J_n$ tel que $J_{n+1} \subset K_{n+1}$ .

4. Conclusion par convergence de la série.

Par le théorème des segments emboîtés, il existe un réel $t^* \in \bigcap_{n \geq n_0} J_n$ .

Puisque $J_n \subset I$ pour tout $n$ , on a $t^* \in I$ .

Par construction, pour tout $n \geq n_0$ , on a :

a_n \cos(4^n t^*) \geq \frac{|a_n|}{2} \geq 0

La série $\sum a_n \cos(4^n t^*)$ est convergente par hypothèse.

Comme il s'agit d'une série dont les termes sont positifs à partir du rang $n_0$ , on peut utiliser le critère de comparaison :

\sum_{n=n_0}^N \frac{|a_n|}{2} \leq \sum_{n=n_0}^N a_n \cos(4^n t^*) \leq \sum_{n=n_0}^{+\infty} a_n \cos(4^n t^*)

La suite des sommes partielles de la série $\sum |a_n|$ est croissante et majorée.

\boxed{ \text{La série } \sum |a_n| \text{ converge.} }

Utiliser la convergence simple pour déduire la convergence absolue sans précaution sur le signe.

La méthode des segments emboîtés permet de sélectionner un point $t$ où les oscillations d'une fonction (comme le cosinus) sont contrôlées.