Convergence d'une série définie par récurrence

Soit $x \in [-1, 1]$ . On considère la suite réelle $(u_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ définie par la relation de récurrence suivante :

u_0(x) = x   \text{et}   \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1}(x) = \ln \left( 1 - \frac{1}{2} u_n(x) \right)

Étudier, pour chaque $x \in [-1, 1]$ , la nature de la série de fonctions $\sum u_n(x)$ .

1.

Commencer par vérifier que la suite est bien définie sur $[-1, 1]$ en étudiant les variations de la fonction $f : t \mapsto \ln(1 - t/2)$ .

2.

Étudier le signe de $u_n(x)$ selon le signe de $x$ et montrer que la série est alternée (pour $x \neq 0$ ).

3.

Montrer que la suite $(|u_n(x)|)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante et converge vers $0$ .

4.

Conclure à l'aide du critère spécial des séries alternées.

•

Étude d'une suite itérative $u_{n+1} = f(u_n)$ .

•

Utilisation du critère spécial des séries alternées (CSSA).

•

Étude de la convergence simple d'une série de fonctions.

1. Définition et domaine de la suite.

Considérons la fonction $f$ définie sur $I = [-1, 1]$ par $f(t) = \ln(1 - t/2)$ .

La fonction $f$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est :

\forall t \in [-1, 1], \ f'(t) = \frac{-1/2}{1 - t/2} = \frac{-1}{2-t}

Puisque $t \in [-1, 1]$ , on a $2-t \in [1, 3]$ , donc $f'(t) < 0$ . La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[-1, 1]$ .

Calculons les bornes : $f(-1) = \ln(3/2) \approx 0,40$ et $f(1) = \ln(1/2) \approx -0,69$ .

Comme $f(I) = [\ln(1/2), \ln(3/2)] \subset [-1, 1]$ , l'intervalle $I$ est stable par $f$ .

La suite $(u_n(x))$ est donc bien définie pour tout $x \in [-1, 1]$ et reste dans $[-1, 1]$ .

2. Signe des termes et caractère alterné.

Si $x = 0$ , alors $u_n(0) = 0$ pour tout $n$ , et la série converge vers 0.

Supposons $x \in ]0, 1]$ . Puisque $f(0) = 0$ et que $f$ est strictement décroissante :

u_1(x) = f(u_0(x)) < f(0) = 0   \text{et}   u_2(x) = f(u_1(x)) > f(0) = 0

Par une récurrence immédiate, on montre que $u_n(x)$ change de signe à chaque rang.

On en déduit que $u_n(x) = (-1)^n |u_n(x)| \cdot \text{sgn}(x)$ .

La série est donc alternée (à partir du rang 0 ou 1 selon le signe de $x$ ).

3. Décroissance du module.

Étudions la fonction $g(t) = |f(t)| - |t|$ sur $I$ .

Si $t \in [0, 1]$ , $g(t) = - \ln(1-t/2) - t$ . Alors $g'(t) = \frac{1}{2-t} - 1 = \frac{t-1}{2-t} \le 0$ .

Comme $g(0) = 0$ , on a $g(t) \le 0$ , soit $|f(t)| \le |t|$ .

Si $t \in [-1, 0]$ , $g(t) = \ln(1-t/2) + t$ . Alors $g'(t) = \frac{-1}{2-t} + 1 = \frac{1-t}{2-t} > 0$ .

Comme $g(0) = 0$ , on a encore $g(t) \le 0$ pour $t \in [-1, 0]$ .

Dans tous les cas, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

\boxed{ |u_{n+1}(x)| \le |u_n(x)| }

La suite $(|u_n(x)|)$ est donc décroissante. Comme elle est minorée par 0, elle converge vers une limite $L \ge 0$ .

4. Limite de la suite et conclusion.

Par continuité de $f$ en $L$ , on doit avoir $f(L) = L$ ou $f(f(L)) = L$ .

L'équation $\ln(1 - L/2) = L$ n'admet que $L = 0$ comme solution sur $[-1, 1]$ (étude classique de $h(t) = \ln(1-t/2) - t$ ).

Ainsi, $|u_n(x)|$ tend vers 0.

D'après le critère spécial des séries alternées, la série $\sum u_n(x)$ converge simplement sur $[-1, 1]$ .

\boxed{ \text{La série } \sum u_n(x) \text{ converge pour tout } x \in [-1, 1]. }

Oublier de vérifier la stabilité de l'intervalle pour la définition de la suite.

La décroissance de f et la condition f(0)=0 induisent souvent un comportement alterné propice au CSSA.