Étude d'une série de fonctions rationnelles

Résolution.

1. Définition et continuité. Soit $x > 0$. On a l'équivalence :
   $$f_n(x) \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{1}{x^2 n^2}$$
   Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, la série $\sum f_n(x)$ converge absolument, donc $f$ est définie sur $\mathbb{R}_+^*$. Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$ et tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
   $$|f_n(x)| = \frac{1}{n + n^2 x^2} \leq \frac{1}{n^2 a^2}$$
   La série $\sum f_n$ converge normalement sur $[a, +\infty[$. Comme chaque $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$, la somme $f$ est continue sur tout intervalle $[a, +\infty[$, donc sur $\mathbb{R}_+^*$.
2. Équivalents de $f$. Au voisinage de $0^+$ : La fonction $t \mapsto \frac{1}{t + x^2 t^2}$ est décroissante sur $[1, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale :
   $$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t + x^2 t^2} \leq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n + x^2 n^2} \leq f_1(x) + \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t + x^2 t^2}$$
   Calculons l'intégrale par décomposition en éléments simples :
   $$\frac{1}{t(1+x^2t)} = \frac{1}{t} - \frac{x^2}{1+x^2t}$$
   D'où :
   $$\int_1^{+\infty} \left( \frac{1}{t} - \frac{x^2}{1+x^2t} \right) \mathrm{d}t = \left[ \ln\left( \frac{t}{1+x^2t} \right) \right]_1^{+\infty} = \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) - \ln\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$$
   On en déduit que $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t + x^2 t^2} = -2\ln(x) + \ln(1+x^2) \underset{x \to 0^+}{\sim} -2\ln(x)$.
   $$\boxed{ f(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} -2\ln(x) }$$
   Au voisinage de $+\infty$ : Considérons $x^2 f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^2}{n + n^2 x^2}$. Soit $h_n(x) = \frac{x^2}{n + n^2 x^2} = \frac{1}{n/x^2 + n^2}$. Pour tout $n \geq 1$, $\lim_{x \to +\infty} h_n(x) = \frac{1}{n^2}$. De plus, $|h_n(x)| \leq \frac{1}{n^2}$, qui est le terme général d'une série convergente. Par convergence normale sur $\mathbb{R}_+^*$, on peut intervertir la limite et la somme :
   $$\lim_{x \to +\infty} x^2 f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$
   $$\boxed{ f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{\pi^2}{6x^2} }$$

3. Étude de l'intégrale $g(x)$.
   1. Pour $x > 0$, $f$ est continue sur $[x, +\infty[$. D'après l'équivalent en $+\infty$, $f(t) = O(1/t^2)$, donc $f$ est intégrable au voisinage de $+\infty$. Par intégration terme à terme (licite car les $f_n$ sont positives et la série converge vers une fonction intégrable) :
      $$g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \int_x^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{n + n^2 t^2}$$
      Calculons l'intégrale :
      $$\int_x^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{n(1 + nt^2)} = \frac{1}{n} \left[ \frac{1}{\sqrt{n}} \arctan(t\sqrt{n}) \right]_x^{+\infty} = \frac{1}{n\sqrt{n}} \left( \frac{\pi}{2} - \arctan(x\sqrt{n}) \right)$$
      $$\boxed{ g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}} \arctan\left(\frac{1}{x\sqrt{n}}\right) }$$

   2. Posons $u_n(x) = \frac{1}{n\sqrt{n}} \arctan\left(\frac{1}{x\sqrt{n}}\right)$. Pour chaque $n$, $\lim_{x \to 0^+} u_n(x) = \frac{\pi}{2 n\sqrt{n}}$. De plus, $|u_n(x)| \leq \frac{\pi}{2 n\sqrt{n}}$, qui est le terme général d'une série convergente indépendante de $x$. Par convergence normale sur $\mathbb{R}_+^*$, on peut intervertir limite et somme :
      $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{3/2}} = \frac{\pi}{2} \zeta\left(\frac{3}{2}\right)$$
      $$\boxed{ \lim_{x \to 0^+} g(x) = \frac{\pi}{2} \zeta\left(\frac{3}{2}\right) }$$

4. Intégrabilité de $f$. $f$ est continue sur $]0, +\infty[$. - En $0$, $f(x) \sim -2\ln(x)$, or $x \mapsto \ln(x)$ est intégrable au voisinage de 0. - En $+\infty$, $f(x) \sim \frac{\pi^2}{6x^2}$, or $x \mapsto 1/x^2$ est intégrable au voisinage de $+\infty$ (Riemann, $2 > 1$).
   $$\boxed{ \text{La fonction } f \text{ est intégrable sur } \mathbb{R}_+^*. }$$